第四回 象生有数（4.1）

光阴荏苒，匆匆数年过去，正是大唐玄宗天宝五年（西元746年）。前年，即天宝三年（西元744年），唐玄宗下诏将纪年单位改“年”为“载”，从本年正月开始实施，本年改为天宝三载。这一名称一直用到唐肃宗至德三载（西元758年）正月止，前后共14年零1个月。（作者按：但为统一，本书全部用“年”这个名称。）

是年楚天墀与叶青十六岁了。这六年来，两人跟随祖先生学习数学与琴艺，又跟随无涯修习内功、剑法与琴道，如今都已小有成就。因渐渐长大，家中都并不十分宽裕，楚天墀与叶青须常在家中帮忙生计，不便再日日都上私塾。祖清风也了解此情，于两年前便吩咐他们只每逢初五、十五、廿五才来听课，其余时间布置任务让他俩在家中练习。

一日正是十月初五，楚天墀因叔叔楚抱朴打渔回来不慎跌伤了脚，因此托叶青向祖先生告假，之后便与堂妹楚天丹一起，帮忙去鹰潭坊卖鱼。因为买鱼的是老主顾，听说楚抱朴跌伤了脚，还另外多给了一吊钱。兄妹俩坚持不敢多拿，买鱼者只好说是垫付款，等下次多给些鱼就是了。就这样，兄妹俩才收下了。

路过药铺时，楚天墀道：“正好买些跌打药，回去好给叔叔医脚。”于是兄妹两人走进药铺，买了些当归、血竭、乳香、没药与马钱子，然后取道回家。路过赌场，正碰上童千斤垂头丧气地从里面出来。兄妹俩迎上前去打招呼道：“千斤叔，你怎么还在赌钱啊！”童千斤叹气道：“你千斤叔没志气，总说要戒，但一路过就忍不住，有两个钱就跑了进去。”楚天丹笑着羞他道：“这次又输光了吧。”童千斤垂头丧气道：“可不正是。”又对楚天墀道：“天墀，你跟祖先生学了这么多年，你倒是帮我算算，到底要怎样才能赢钱？”

楚天墀还未开口，天丹却笑道：“这也是能算的？我听大人说都是靠手气。”楚天墀接过话茬，道：“倒也未必。”童千斤一听，大喜过望。他是敬佩祖先生的本事的，而祖先生的高弟一定也非常了得。于是童千斤抓住楚天墀的胳膊道：“那你快帮我算一下。”楚天墀道：“千斤叔别急，我们边走边说。”

路上楚天墀不断地向童千斤打听赌场之赌局设置，以及每一场赌局之赔率。稍作计算后，便觉心中有数，然后问道：“千斤叔，你认为赌博一定会赢吗？”童千斤抓了抓头皮，道：“虽然我输得多，但我不相信谁赌博一定能赢，否则谁跟他赌？”楚天墀又问道：“那千斤叔是否认为逢赌必输？”童千斤又抓了抓头皮，困惑地道：“这个嘛，还是那句话，没有必赢也没有必输。”

这时楚天丹插嘴道：“那千斤叔你怎么老是输啊？”童千斤只得又抓头皮，苦笑道：“我有时也能赢点，但总的来说输得多，真叫人弄不明白。”楚天墀道：“有人使诈吗？”童千斤道：“也许吧，但我看不出来。”楚天墀道：“千斤叔认为没有必赢的方案、也没有必输的方案，这就说明，长久地赌下去，最后恐怕就是不输不赢。”童千斤以前倒没想过这个，这一下可算是把他惊醒了。只见他一拍脑门，自我解嘲道：“你们看我多糊涂，我就没想过这个。”楚天丹道：“哈哈，千斤叔，这就是我奶奶说的‘陪着黄牯晒太阳’，陪人家洗牌玩。”说得三人都哈哈大笑起来。

楚天墀道：“今天早上正好向先生告了假，为帮千斤叔戒赌，我干脆再算个东西给你们看看。”童千斤大感兴趣，道：“反正时间还早，就边走边算。”三人这时已走出鹰潭坊，楚天墀在路边找了块空地，画了一个大矩形，又从中间画了一条竖线，线左写了个“大”字，线右写了个“小”字。

楚天墀道：“千斤叔你看，用三粒骰子，赌大小的话，因为几率各占一半，所以是一赔一的。”童千斤道：“没错，是这样。”楚天墀又道：“若两个六点，再凑一块就是“天牌对”甚或“豹子”，这个赔率是多少呢？”童千斤道：“天牌对倒是拿过几次，赌场规定一赔三十二；豹子没有拿到过，应该是一赔二百一十。”之后楚天墀又摆出“和牌”、“梅花”、“板凳”、“铜锤”等，并问明赌场给出之赔率。童千斤一一回答。

楚天墀站起身来，道：“千斤叔，难怪人家讲十赌九输，照这个赔率，庄家是永远也不会倒啊。”童千斤道：“问题出在哪呢？”楚天墀道：“问题就出在赔率上，它和骰子出现的几率不搭配。”童千斤莫名其妙，问道：“怎样才叫搭配呢？”楚天墀道：“千斤叔你想想。赌大小的，是一赔一的，如果加上拿回的赌注本金，就是一赔二。”童千斤道：“嗯，你继续说。”楚天墀接着道：“如果出现‘天牌对’，赔率是一赔三十六，但是千斤叔你算过没有，‘天牌对’出现的几率是多大？”童千斤有些困惑，因为他还真没搞明白过这个问题。

话休絮烦。却说楚天墀所计算的依据，在后世属于“概率论”中简单的古典概型，今天但凡学过的都能算出来，但在大唐时期，这一门由赌博兴起的学问尚属于少数人之思想武器。祖冲之的《缀术》是否有关于此项内容之研究，如今不得而知。但纵观中国古代学者在代数上之成就，唐朝时就有人会计算这些初等概率问题，并非作者一厢情愿之臆想。

在三粒骰子之赌博中，“豹子”即三个六点出现的几率为1/216，分母即六的三次方，则公平赌博的赔率应该是1:215；同理，两个六点出现的几率为1/36，去除“豹子”出现之几率，则得“天牌对”的几率为5/216，则公平赌博之赔率应该是1:42.2；……而显然，赌场给出之赔率都比公平赌博之赔率要小，因此长期以往，赌客必将输多赢少。

楚天墀这里所计算之赔率问题，在今日之“概率论”学科中，属于数学期望问题。其实对于古人来说，他并不需要知道什么叫概率论、什么叫数学期望，也能算出这个表达式。因为若你打算开一家赌场，对于每一种赌法，应如何调配赌局中的赔率，才能保证永远不倒庄，且永远有赌徒来赌博呢？最好的当然莫过于没有必赢且没有必输之方案，由此可以推出赌博之平均收益为零。否则，若平均收益为正数，则表示凡赌博一段时间后，赌客定会赢钱，这样赌场必然倒庄；若平均收益为负数，则表示凡赌博一段时间后，赌客定会输钱，这样赌客渐渐囊中羞涩，自然也就不来了，而赌场亦将随之关门大吉。有鉴于此，数学期望即平均收益为零，才是赌场不至于关门的唯一法则。当然，若有人出老千，此规则将被打破，但那又另当别论了。由以上分析可得：赔率等于概率的倒数减去一，或者概率等于赔率与一之和的倒数。

童千斤被楚天墀的计算惊呆了，沮丧地问道：“这样说来，我是没有赢钱的可能了？”楚天墀道：“那也未必，但是千斤叔，小赌怡情，大赌乱性。偶一为之则可，不可沉迷啊。”童千斤不好意思地笑了笑，道：“我一把年纪了反倒吃你的劝。行，千斤叔听你的，以后少赌了。”楚天丹插嘴道：“最好是别赌。”童千斤道：“丫头，你哥刚才都说了，小赌怡情，完全不赌你千斤叔忍不住啊。”说着三人又哈哈大笑起来。

三人边走边说，童千斤道：“天墀，你说的道理叔都已经明白了，但叔还有两个问题。”楚天墀问道：“什么问题？”童千斤接着道：“第一，就是出牌的几率是怎么算的？第二，就是几率与赔率到底该满足什么关系？”楚天墀道：“千斤叔你能这样问，就说明我今天说的你都听进去了。”旁边的楚天丹道：“我也听进去了呢，我也想知道怎么算的。”楚天墀道：“几率的计算其实不难，只要记住骰子的六个面出现可能性都是六分之一就可以了；而赔率呢，根据长远的赢利应该为零来算，它等于几率的倒数减去一。如果不是这样的话，则不是公平之赌博。”

楚天丹不解，继续道：“为什么长远的赢利应该为零呢？”楚天墀道：“只有这样，才能保证绝对公平，否则就会产生必赢或必输之方案。”楚天丹又问道：“为什么还要减去一呢？”楚天墀道：“这个千斤叔应该能理解，减去一就是减去压的赌注本金。”童千斤沉吟道：“不错不错，赌场给出的赔率都比这个要小，难怪我是要输钱的啊。”三人一路讲一路算，倒也不耽误行程。这一次能劝服童千斤以后少赌为妙，也算是楚天墀兄妹俩的意外收获。

回到上清村后，兄妹俩告别童千斤，然后楚天墀对堂妹道：“天丹，你先把药与钱带回去，我去田坂找些跌打药的引子，回去就可以给叔叔治脚了。”楚天丹道：“哥，我要跟你一起去，反正我先回去药也用不了。”楚天墀想想也是，便道：“也好，你可以帮我拿着些。”兄妹俩来到田坂上，先找了颗川芎，挖出后取其根茎；又在山脚下挖了一窝土鳖虫。看看配料已齐全，然后回家给楚抱朴治脚伤去了。

上清村是个古村落，村里竹林成荫，古樟树也极多，且树高叶繁，群鸟穿枝绕林，飞鸣不绝。当日晴空万里，日光由林隙下注，映出满地清荫。这时候男人们都在地里或山里、水上做事，因此村中大树下，三三两两地尽坐着些妇孺，有搓麻绳的、织布的，摘菜的、剥豆子的，也有笑谈的、喂孩子的。

给叔叔敷完药后，楚天墀一时无事，因祖先生近日都在讲《南华真经》，他便拿出来研习。祖清风虽是算学名家，但儒道佛兼修，而且经常鼓励弟子们要博览群书，以此才能达到融会贯通之境界。因此道教与佛教的一些经典，祖清风讲课时也多有涉及，只不过在涉及道经时，祖清风就会单独建议楚、叶二人，多听无涯教诲。

楚天墀本人因受龙虎山之影响，相比而言显得更喜欢研读道教之经典。《南华真经》是已经读过的，正好闲来无事，也就随手跳着翻阅，翻到哪就看哪。当看到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”句时，不觉想起祖先生曾教授的刘徽求圆周率时发明的割圆术。当时祖清风曾道：“一直割下去，内接正多边形的边数越多，该多边形的周长就越接近圆周。后来，先祖祖冲之就是这样把圆周率算到小数点后七位数的。”

把这两事联系起来，楚天墀开始觉得有所迷惘。“万世不竭”的万世究竟是多久？棰子可平分多少次？庖丁解牛时曾言“以无厚入有间”，那么到底无厚是多薄？楚天墀想，假使无厚确实可以入有间，则一尺之棰可取无穷多次，由此可以算出，两尺之棰可取无穷多加一次，而半尺之棰可取无穷多减一次。而无穷多加一与无穷多减一本身仍旧是无穷多，那是否可以说明一尺、两尺与半尺，其实都是一样长的呢？

列位读者，当日楚天墀所想的问题在今日属于实数域之连续统与映射问题。说来其实简单，任何长度的棰子我们都可以定义为一个单位，只不过实际的单位长度不一样而已。如果把单位抽象掉而只剩下数的话，则大家都是一（一个单位），那自然是相等的。但在唐朝，数学尚未发展到如此抽象之地步，因此当时楚天墀为了弄明白这个问题，确实构思巧妙。

只见楚天墀找出一根木棒，把它竖立在地面上，测得木棒的影子长度约为木棒的三分之一。然后他点点头，自言自语道：“木棒本身及其阴影很明显是不一样长的，而且比例值还可以任意变化。但不管怎样变化，木棒上随意削掉一截，影子也会相应地少一截。这就说明，木棒上的截面与影子上的截面是相互对应的。由此也可以说明，任意两根长度不等之棒子上，所能得到的截面都是完全一样多的。”

楚天墀的这一结论，换成今天之数学语言，就是：“任意取两条不同的线段，它们所包含的点是完全一样多的。”这一结论曾经在近代震惊整个世界，但于当日之楚天墀而言，却只不过是给他带来了一丝领悟后的喜悦而已。

祖先生曾引用佛经上的话“一刹那即一永恒”，当时楚天墀尚未完全理解，而今日的发现，令他豁然开朗。《摩诃僧祗律》卷十七中记载：“一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。”如此换算下来，一刹那相当于0.00002刻，其中一刻相当于现在之十五分钟，也就是说一刹那相当于现在的0.018秒。这显然是个很短的时段。而永恒是无穷长的时段，它们真的能相当吗？

楚天墀想，既然一尺之棰相当于两尺之棰，那么一直类比下去，也可以相当于四尺、八尺、十六尺……乃至无穷尺之棰。若把一刹那之长度与棰子之长度都等同为一个单位，则“一刹那即一永恒”就成立了。

楚天墀再也按捺不住喜悦之心情，若不是在村里，他就要跳起来了。他取出纸笔，把这一发现记录下来，下午要带去向祖先生与叶青报告，并希望祖先生能给他更多的启发。