4D模型-图解“凯利公式”

凯利公式是赌博中关于最佳投注率的数学描述。其表达式为：f = (b*p - 1)/(b - 1)。

公式中各个字母的定义：

f：最佳押注比例：最佳押注金额 / 本金总额。

b：赔率：赢时赢得的金额 / 输时输掉的金额。

p：概率：赢的次数 / 下注的总次数。

凯利公式现实中的含义是：

当你确定了赌局的赔率和概率后，可以用这个公式算出最佳的押注比例，以此比率押注可以获得最优的期望收益率（预期收益率的定义是：每次平均赢得的金额 / 本金的总额）。

凯利公式在数学形式上非常简单，只是加减乘除的简单计算，只要数学有小学水平就能看懂。

然而在实际中，大多数人应用都会力不从心。

究其原因，主要有下面两点：

1、凯利公式只给出了最佳投注比例。然而投资者最关心的按此比例押注，最终获得的预期收益率是多少，凯利公式并没有给出答案。

2、式子的形式是静态的，但现实中赔率和概率是动态的变量。普通人缺乏由理论公式演绎出现实结果的能力。

鉴于此，我自己做了一个最佳预期收益率与赔率、概率和投注率的模型。模型的数学推导过程和表达式就不写了，免得赶跑读者。这里，我只把最后的结果用图形展示出来，看图总是比看式子更直观和便于理解。

在我的模型中，x轴代表赔率b，y轴代表概率p，而投注率则以不同颜色的面来表示，z轴代表预期收益率。

第一个图：

先看两种极端的情形：

1、押注比例=0：

灰色平面，预期收益率为0。也就是说，0押注下，不管赔率和概率怎么变化，预期收益永远为0，本金不增不减。

2、押注比例=1：

粉红的面，只有概率=1时，预期收益等于赔率；而当概率<1时，预期收益为-1。也就是说，如果每次下注都压上所有本金，除非概率是100%，否则最终结果都将是输掉所有本金，迟早输光光。

在现实中，押注比例一般都不是上面所说的两个极端情形，而是在[0，1]之间，那情况将是如何呢？

图中蓝色的曲面是投注比例=0.3时的情形。可以看出，有一部分蓝面在灰色平面之上，另一部分在其之下。

在灰面之上的区域是正收益区域（赚钱区域），而在之下则是负收益区域（亏钱区域）。

再看一下投注比例=0.7的情形。比较两种情形会发现：不同投注比例，正负收益区域是不一样的，投注比例越高，负收益区域越大。

如果把投注比例0.3和0.7两种情形放一起比较，还会发现，在有些区域投注比例0.3的预期收益率高于0.7，而在另一些区域则相反

这就是在不同的赔率和概率之下，存在着最佳投注比例。如何计算最佳投注率，这就是凯利公式的应用了。

不过，看凯利公式不来感觉，看图会更加直观。下图中不同颜色的曲面，分别是从0、0.1、0.2，一直到1.0的不同投注比例在不同赔率和概率区域的预期收益率。在不同的赔率和概率区域，最优的预期收益对应着不同的投注比例。

上面这些图都是模型的截图，都只是一个静态的视角看到的情形，预期收益与赔率、概率和投注比例之间的关系，略显片面。

有兴趣而又想深入了解模型的的朋友，'关注”后“私信”。它是一个3维模型。透过这个模型，可以360度全方位了解预期收益与赔率、概率和投注比例之间的数学关系。

通过模型的分析，还能提炼出一些对投资更深层次的一些原则。

如：“赔率优先”不但在实践中更有现实意义，而且在理论上也有充分的数学支持。诸如此类，以后有机会再继续讨论吧。