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极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。

针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。

火灾损失数据

本文使用的数据是在再保险公司收集的，包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。

base1=read.table( "dataunivar.txt", header=TRUE) base2=read.table( "datamultiva.txt", header=TRUE)

考虑第一个数据集（到目前为止，我们处理的是单变量极值），

> D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y") > plot(D,X,type="h")

图表如下：

然后一个自然的想法是可视化

例如

> plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))

线性回归

这里的点在一条直线上。斜率可以通过线性回归得到，

lm(formula = Y ~ X, data = B) lm(Y~X,data=B[(n-500):n,]) lm(formula = Y ~ X, data = B[(n - 100):n, ])

重尾分布

这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布

由于自然估计量是阶次统计量，因此直线的斜率与尾部指数相反

. 斜率的估计值为（仅考虑最大的观测值）

希尔估算量

希尔估算量基于以下假设：上面的分母几乎为1（即等于）。

那么可以得到收敛性假设。进一步

基于这个（渐近）分布，可以得到一个（渐近）置信区间

> xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs > xise=1.96/sqrt(1:n)*xi

> polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)),

增量方法

与之类似（同样还有关于收敛速度的附加假设）

（使用增量方法获得）。同样，我们可以使用该结果得出（渐近）置信区间

> alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi > polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)),

Deckers-einmal-de-Haan估计量

然后（再次考虑收敛速度的条件，即），

Pickands估计

由于

代码

> xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]- + Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/


> xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*

+sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))

> polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1,

拟合GPD分布

也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。

> gpd $n [1] 2167


$threshold

[1] 5
$p.less.thresh

[1] 0.8827873
$n.exceed

[1] 254
$method

[1] "ml"
$par.ests

xi beta

0.6320499 3.8074817
$par.ses

xi beta

0.1117143 0.4637270
$varcov

[,1] [,2]

[1,] 0.01248007 -0.03203283

[2,] -0.03203283 0.21504269
$information

[1] "observed"
$converged

[1] 0
$nllh.final

[1] 754.1115

attr(,"class") [1] "gpd"

或等效地

> gpd.fit $threshold [1] 5


$nexc

[1] 254
$conv

[1] 0
$nllh

[1] 754.1115
$mle

[1] 3.8078632 0.6315749
$rate

[1] 0.1172127

$se [1] 0.4636270 0.1116136

它可以可视化尾部指数的轮廓似然性，

> gpd.prof

或者

> gpd.prof

因此，可以绘制尾指数的最大似然估计量，作为阈值的函数（包括置信区间），

Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})

plot(u,XI,ylim=c(0,2)) segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+

最后，可以使用块极大值技术。

gev.fit $conv [1] 0


$nllh

[1] 3392.418
$mle

[1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128

$se [1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380

尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。

R语言极值理论EVT：基于GPD模型的火灾损失分布分析