再读《深奥的简洁：让混沌和复杂归于有序》

（《深奥的简洁：让混沌和复杂归于有序》，美国科普大师葛瑞本著。

这是芒格推荐书目中的第一本书，也是我最喜欢的一本书，用科学家逻辑推理的思维方式，得出了一个结论：宇宙间任何有趣的事情，包括各种自然现象（包括股市），尽管看起来很混沌，很复杂，但实际上都遵循背后深奥而简单的规则。看完这本书，我觉得自己的眼光一下子开阔了很多，看问题简单直接了许多。今天再度拿起这本书，是想细细品味一下其中的韵味。不过因为是台湾人翻译的，读起来稍有点别扭。）

前言：蕴含于复杂中的简洁

1. 生命是如何从无生命体中产生的这个最有趣的问题，依然无解。/ 我们可能是宇宙中最复杂的事物。/ 如果愈来愈多的原子结合在一起，它们的整体质量将使得重力压垮一切有趣的结构。一个原子或是水分子的结构比人类简单，因为其中只有少许的内在结构；一个星球或是星球内部也比人类简单，因为重力把所有的结构都压垮了。这就是为什么科学能告诉我们很多关于原子行为和星体内部的运作方式，而难以描述人类的行为。

2. 本书的重点在于，混沌和复杂遵循简单法则。某些论调会让你以为四个世纪以来的科学努力被颠覆了，然而，这些新发展却大大不同，它们显示了对简单法则长久积累出的科学认知如何能成功地解释（虽然无法预测）看似无法解释的天气系统、股票市场、地震，甚至人类。

3. 美国物理学家Murray Gell-Mann的一句话也呼应了物理学家Richard Feynman的猜想：我们在周围世界所见到的复杂行为——甚至在生命世界中——只是“从深奥的简洁中所浮现出的复杂表象”，而支撑着复杂表象的深奥简洁，正是这本书的主题。

第一章：混沌中的秩序

1. 十七世纪科学革命之前，人们对于风与天气、饥荒的发生，或是行星运行的轨道所能提出的最好解释是，它们都是上帝或众神的即兴之作。宇宙中的秩序被视为物体必循的和谐回应，例如行星运行与太阳绕着地球（地球被视为宇宙中心）的轨道被视为圆形的，因为圆形是完美的。/ ......最终打垮了古希腊人所钟爱的那种以完美圆形规范星空的概念。

2. 伽利略是第一个以科学方式了解运动概念的人。/ 摆钟所需的时间取决于钟摆的长度，而不是摆动的幅度，这就是钟摆原理。/ 他让球从斜坡滚下，......透过这些实验，伽利略发展出加速度的概念。/ 事实上，当球从斜坡滚下时，会产生磨擦力而减慢一些。但他做出戏剧性的重大突破，用这些实际观察资料推论，试算出如果磨擦力不存在，这些球会在无摩擦力的完美斜坡上如何运动，在当时，这是令人吃惊的想法。这种推断方式，成为了世界之后四百年科学探索的核心。/ 和古希腊哲学家不同，这些科学家知道完美的想象并不代表真实世界，运用这些公式当武器，他们接下来可以再加入一些条件与修正系数，把真实世界的不完美纳入计算。

3. 牛顿在描述真实世界的某个性质时，也承接了伽利略广博精深的观念，就是刻意简化模型。/ 即使是非常不规则的物体，如果你与它的距离够远，在重力表现上他的质量宛如集中于一点。/ 莱布尼兹也独立发明了微积分（今天的名称就是由他定的），他得到微积分概念的时间晚于牛顿，但他很明智地立即发表。/ 微积分能将问题分割成数学上好处理的小区块，而把计算得到的结果相加，就成了问题的答案。/ 古希腊哲学家芝诺的诡论：一个士兵在箭射到他之前，就已经从原本的位置跑开，他就永远不会被箭命中；在箭多走一段距离的同时，他又向前移动一些，如此等等。......一支箭的飞行轨迹可以被微分成在它路径中无数点在任何位置的描述，想躲开这支箭的人，也可做同样分析，当这两个微分后的方程式合起来被积分，将可得知箭射中人的确定时间，没有诡论。/ 当微积分被广泛了解后，牛顿和莱布尼兹似乎驯服了时间，使得我们可以准确地描述运动物体的行为，如同古希腊人描述静止物体一般。/ 牛顿在《原理》中利用科学家熟悉的技巧证明，为了使行星以椭圆轨道环绕太阳（以使观测结果和理论一致），重力必须遵循反平方定律。就是在一定距离下，两个质量物体产生的引力，会和两个质量的乘积除以距离的平方成正比（即万有引力定律F=GmM/rr）。/ 所有皇家学会会员都知道，反平方定律会造就椭圆轨道，而牛顿的成就在于证明只有反平方定律才能造就椭圆轨道，所以重力必须符合反平方定律。不仅如此，他的研究还代表了一个放诸四海皆准的定律，不仅适用于从树上掉下的苹果，或者环绕地球的月亮，或是环绕太阳的行星，也适用于任何时间——它适用于宇宙中任何物体在任何地方的相互间的引力。/ 牛顿使宇宙像个有秩序的地方，让不可捉摸的神没有立足之地。

4. 牛顿还提出了三条运动定律来描述物体的行为，依照推论，这三条定律必须被视为和万有定律一样，适用于任何时空。/ 牛顿第一运动定律说，任一物体都会保持静止或是以直线运动，除非受到外力作用。/ 第二运动定律告诉我们物体运动受到外力影响的程度：加速度的公式：F=ma，正是这个定律，加上重力定理，具体解释了行星环绕太阳的轨道。/ 第三运动定律说，作用于物体上的力都会产生大小一样的反作用力。/ 万有引力定律和牛顿的三个运动定律，支撑了三百年的科学。/ 几个世纪以来，牛顿理论的一些问题被忽视，今天我们所知的“轨道动力学”，是第一个促使现代科学正视混沌现象的领域。

5. 问题在于，虽然牛顿定律（包括重力定理）可以完美地计算出独立于宇宙中的两个物体互相环绕的轨道（月亮环绕地球或地球环绕太阳等等），但它们不能给出三个以上互相由重力吸引的物体运动的精确计算（例如地球、月亮和太阳共同在太空中的运行）。这就是所谓的“三体问题”，也存在于任何多于两个的“体”之间。/ “N体问题”，N大于2，描述这类系统的方程式可以被写出来，但无法解——它们无法被积分，没有解析解。......值得注意的是，三体运动无解并非因为人类的数学不够好，而是数学系统本身的问题。/ 这些问题往往可以利用“近似解”避开。拿三个互相环绕的物体来说，我们可以先将其中一个物体视为静止的，再计算出另两个物体在轨道中的些微移动，然后由这个新的初始位置，让另一个物体静止，计算出其他两个物体的位置，如此反复。......总会存在某种程度的误差。如果三个物体的质量相当，彼此间距离又差不多，则三体问题完全无解。缺乏解析解表示，大自然本身也“不知道”这些轨道会如何随着时间而变化，即使太阳系中的行星轨道，也未必一直会保持和现在一样，而且根本无法预测可能发生的改变。/ 牛顿察觉到这一点，但身为一名虔诚的教徒，他自行提出一个答案，认为如果行星偏离了现在的轨道（或一路向太阳回旋，或往外太空跑），上帝总会插手把它们放回正常路径。/ 莱布尼兹嘲讽牛顿的上帝一定是个差劲的钟表匠，因为他竟然做不出一个不需要修理就能正确运行的时钟！

6. 十八世纪末，法国数学家拉普拉斯计算，经过929年，木星轨道会扩张，土星轨道会收缩，而接下来的929年，木星轨道会收缩，土星轨道会扩张，以此类推，拉普拉斯认为他解释了上述谜团，恢复了太阳系的秩序。/ 我们接下来会看到，拉普拉斯并非完全是对的，但他证明了其他行星间也存在类似的稳定性，并由此推论整个太阳系也是稳定的。/ 虽然十九和二十世纪的科学家知道，在很多情况下，特定的方程式没有解析解，他们致力于在可决定的部分求出解，然后利用近似的方法处理其他部分。至于更难的谜题，通常就是置之不理了。

7. 想象一下撞球，桌上两颗静止的球彼此接触，而运动中的第三颗球从旁边同时撞击到他们，则牛顿定律无法告诉你这些球在撞击后如何运动。假使两颗静止的球其中之一被先撞到，哪怕只是0.01秒，牛顿定律都可以告诉你它们将如何运动，但对于真正同时的撞击，牛顿定律就无能为力了。/ 小到小钟摆的振荡，大到登月太空船的飞行运动，我们都能利用定理成功地提出解释，然而在撞球这么简单的情况下，竟无法预测其结果，实在让人很苦恼。/ 十九世纪时，没有人真正担心这件事，大家都在忙于利用牛顿定律以及各种科学方法，来描绘一个有秩序的、机械式的宇宙。拉普拉斯在1814年写的这段话，反应了当时普遍的看法：“想象有一个智慧，它在任何时间都知道所有控制大自然的力量，同时也知道每一项事物的运动状态。假设这智慧体可以将所有资料加以分析，它将能把宇宙中大大小小物体运动的状态用一个公式描述。对它而言，没有不确定的东西；它的眼中可以清楚地看到未来与过去。”/ 根据牛顿定律，一对物体的碰撞是完全可逆的，无论“时间箭头”的方向为何，这样，我们不但可预测每个粒子未来的运动方向，还可以推算出它们过去的历程。

8. 马克斯威尔方程式规范了电磁场与辐射的方式，正如牛顿定律规范实在物体一样。/ 十九世纪中期，所有物理科学所知的现象，都可用牛顿与马克斯威尔两人所发展出的数学工具来处理。/ 就是因为马克斯威尔方程式推导出光以固定的速度进行，不因观测者的运动而有所不同，引导了爱因斯坦在1905年发表狭义相对论，并于10年后扩展至广义相对论。本书不讨论相对论，仅指出它的存在比牛顿理论提供了对于运动物体及重力更完整的描述。/ 另一个马克斯威尔方程式的奇特性质在于，它们与牛顿定律一样，没有时间方向性。

9. 从我们的角度而言，热动力学在科学上的重要性是让科学家得以描述大量物体的集体行为，特别是气体分子，某种程度上在一个复杂系统中共同运作。/ “gas”（气体）这个词最早是由法兰德斯物理学家海尔蒙特提出，希腊文的意思就是“混沌”。/ 约略计算，一个火柴盒大小的空间里，差不多有1000亿兆个分子，不管拉普拉斯怎么认为，任何试图以牛顿运动定律计算出每一个气体分子轨迹，从而描述气体性质的努力，都将徒劳无功，因为这是个N体问题，而N等于1000亿兆。现在该是统计上场的时刻了。

10. 将力学应用在统计方式，以描述气体（或其他系统）中无数原子与分子行为的方法，称为“统计力学”。/ 日常生活中的时间有方向性，而它似乎与热力和统计力学紧密联系。/ 傅立叶找到一个简单的数学定律来描述热传递——热的传递效应与温差成正比——使热（显而易见地）由较热的一端流向较冷的另一端。/ 傅立叶的定律也是普遍适用的，固体、液体、气体，不论物体是由什么物质构成都成立。然而，比例常数却随物质不同而有所变化，在金属中，热传递得比木头要快。/ 在原子分子的尺度，要预测人们生活周围的事物性质是一件不可能的任务，所有粒子间的交互作用复杂到无法分析，并表现出混乱的情形。但当不计其数的分子互相作用后，这些混乱消失了，或者说它们被均摊了，所以简单法则带来的秩序就出现（或又出现）。没有人知道这是怎么发生的。

11. 1840年代，焦耳比伦弗更进一步地利用实验精准测量出使定量的水升高一定温度所需要的功。这项研究，以及同时代的德国科学家赫尔姆霍兹所做的类似研究，导致能量守恒观念的产生。也就是说，能量无法被产生或消灭，只能由一种形式转换为另一种。......能量守恒定律也被称为热力学第一定律。/ 德国的克劳修斯在1860年代中期提出了“熵”（entropy）的观念。/ 一个盒子，用隔板分成两半，一半充满气体，一半真空，然后把隔板抽走，气体将均匀地充满整个盒子，系统变得更有秩序（或更不混乱）。当气体扩散的时候，温度也会下降。你可以将盒子的状态复原，用帮浦将气体挤回原来的一半空间，会将温度提升到原来状态。但要完成这个工作，帮浦必须作功，在过程中因摩擦等因素散出热。所以虽然这个被视为封闭系统的盒子回复了原始状态，但以整个宇宙来看，热散出来了，宇宙因此改变。/ 熵是用来测量系统中秩序的量，熵的增加，表示混乱度增加。（老K注：为理解方便，不妨把“熵”替换成“混乱度”）我们知道在真实世界中，封闭系统的混乱度随时间增加（东西会衰败），所以熵的必然增加可以定义出时间的方向，也就是从有秩序的过去指向混乱的未来。/ 维多利亚时代的热力学家于是想象，宇宙的最终命运是把所有可用能量都转换成热，一切物质都会处于平淡一致的恒温状态，刻画出他们所谓“热终结”的苍凉宇宙景象。（这个令人沮丧的预言现已被其他理论取代。1920年代后期发现的宇宙膨胀的事实改变了这个预言。1940年代起，人们开始了解重力效应具有负能量，所以“热终结”预言更不存在了）/ 在宏观的尺度上，宇宙以不可逆的方式运作——你永远不能把事物变回过去的状态。但在我们讨论简单的热力学不可逆性质、熵与时间方向、带着隔板的盒子等案例中，我们在宏观与微观的世界中看到泾渭分明的两种情况。依照牛顿定律，原子和分子可以回溯他们的运动路径，回到原来的半个盒子中，而不论其中发生过多少次碰撞。但在真实世界中，我们从不曾看过一个系统会这样运作。/ 物理定律因宏观与微观尺度不同所造成的二分法则，对于十九世纪末的物理学家来说，是一个巨大的谜团。

12. 最终的平衡状态（也就是能量最低的状态）称为吸子（attractor），因为整个系统的运行方式宛如被吸到这个状态。一旦达到这个状态，我们将无法分辨系统是如何变成这样的。/ 如果让一颗弹珠在一只大碗里打转，经过回旋和振荡之后，弹珠会静止于碗底，这个状态就是系统的吸子。/ 事实上，世界上没有孤立的系统，也没有系统处于完美的平衡状态，它可以很接近平衡，但永远达不到所谓完美的平衡。/ 只有稍稍偏离平衡状态，就能由混沌中产生秩序。在平衡态之外，适当情况下，能量的流动会自发性地创造出秩序来。/ 一般来说，接近平衡的系统会被导向“熵值增加率为最低”的状态。（老K注：就是不会更快混乱的状态）

13. 法国数据和物理学家庞加莱认为：如果你有一个内含有限数目分子的气体盒子，而这些粒子又完全遵循牛顿运动定律，那么经过一段够长的时间之后，盒中的气体分子将会回复到原始状态，具有和刚开始时一样的方向和速度。......但这个周期所牵涉到的时间规模却令人无法想象。庞加莱证明，一个具有N个粒子的气体盒子，要重现其原始状态的周期是10的N次方秒。/ 他发现牛顿对于行星轨道稳定性的担心不无道理，而拉普拉斯误以为自己解决了这个问题。庞加莱证明了三体问题（更不用说N体问题）通常无法以我们熟悉的近似技巧求解，而遵循牛顿定律与重力定理看似简单的运行轨道，都可能产生混乱而无法预测的行为。

第二章：重返混沌

1. 数学家知道，有许多无限级数被加总时，会产生出愈来愈接近一些特定数字的近似值。比方圆周率的计算。......但很多情况下，我们无法证明某一数列是收敛或发散。这时，虽然对看似收敛得很好的数列进行运算，但不论算了多少项，仍无法确定下一次的计算结果会不会发生显著甚至剧烈的改变，而出现意想不到的结果。/ 这正是十九世纪天文学家用来计算太阳系中卫星轨道的技巧，但没人能证明，这些在方程式中出现的数列会否收敛。天文学家对这种现象不担心，只要这些近似值够用就行了，但数学家将它视为挑战，没有人真正相信太阳系是不稳定的，但是如果有确切的证明会更好。

2. 最早的关键性贡献，是十九世纪由爱尔兰数学家汉弥尔顿所提出的“相空间”（phase space）的概念。......一个粒子在特定时间的状态，由它的位置与动量定义。/ 日常的三维空间中，以3个数字来表达一个粒子，它们代表粒子相对于某个设定原点的距离。利用小的思维转换，我们将这个观念引进一个代表某个粒子所有可能动量的想象空间。因为动量与速度成正比，而速度是三维的（方向、速率），所以在这样的速度空间中的一个点，代表一个粒子在3个相互垂直方向的相对速率。接下来的步骤只有数学家才能想到，为什么不把这三维代表空间、三维描述运动的两组信息合二为一。结果是个想象的六维空间，其中的一个点代表某时刻某个粒子的位置与动量，这就是一个粒子的“相空间”。/ 如果两个粒子在空无一物的盒中相互作用，你需要用到一个十二维空间来描述这系统，以此类推（老K注：某个时刻的系统状态等于相空间的1个点，对应某个系统的相空间的维数随着系统的粒子数而增加）。/ 传统的统计力学之统计模式在描述像是气体盒子这样的系统时，必须分析这些相空间中的点的几率。在相空间中存在比较多的点（老K注：可看成抽象空间具有一定分辨率）对应于粒子分布均匀的盒子的点数，多过代表所有粒子在盒子一边的点数。这说明了前者需要较大范围的相空间以保存这些点，而后者只需要小范围相空间即可。（老K注：点和抽象空间的关系，均匀分布，则占用空间大，不均匀分布，则占用空间小，这个很重要，想象一下股价过度高估、过度低估和说不清楚的状态分布吧。）这说明了前者需要较大范围的相空间以保存这些点，而后者只需要小范围相空间即可。/ 我们可以想象“相空间”是一块充满弯曲山谷、深深洞穴、大小山丘的景观。我们加入蒸发和降雨，用以表达粒子从“河流”被带到“山顶”，然后再流回原处这样的路径。单一粒子在相空间中的运动过程，代表整个系统随时间变化的方式，而这粒子在部分相空间中所待的时间，与那部分相空间的大小成正比。/ 相空间中的一道轨迹，代表随时间产生的状态变化，如果这轨迹通过一个先前经过的点，表示整个系统回到最早完全相同的状态。在这情况下，依照牛顿的运动定律，它必须遵循相同规则，由那个状态开始重复在相空间的轨迹。对气体盒子来说，这就是庞加莱重现周期的中心思想。/ 对于非线性系统，一个初始状态的小错误经过计算过程，将造成结果的巨大误差。

3. 为什么气象学家不能准确地预测天气？这样的困扰通常发生在大气处于不稳定平衡的地区，不稳定平衡就像一支铅笔以笔尖维持平衡，庞加莱试图说明，在这样的情况下，我们知道铅笔将倒下，但无法预测倒的方向。/ 理查德在1920年代，已经将数据化天气预测的力量说的一清二楚，其梦想在1950年代初期随着电脑的出现已经实现，只要有够快的电脑和更细的观测格点，就能做出更好的预测。然而10年后有一些证据表示，这个假设的基础并不存在。/ 1959年，MIT的数学气象家罗伦兹发现：如果不知道某一点在相空间中的确切位置，完全无法预测经过这一点的轨迹何时将落到另一边，所以轨迹最终的归宿看起来是随机的。/ 罗伦兹让人们注意到今天试图了解混沌的一项核心课题：系统行为是否“完全”决定于初始状态？这类由初始条件造成的天气（以及其他系统）敏感性，常被称为“蝴蝶效应”，源自1972年罗伦兹的一篇论文题目“巴西的一只蝴蝶舞动翅膀，可以引发德州的飓风吗？”这成了“混沌”最有力的隐喻。/ 有时几组稍有不同的初始数据，对几天后的天气会得出大不相同的“预测”，这说明此时天气处在不稳定状态，相当于相空间中漫步在沙丘上的轨迹，而所有的预测都不可靠。这就是为什么有时电视上的气象预报员会对他们的预测显得较有信心，有时则否。／2XX-1，X取0.2468和0.2469，一直迭代计算下去，得到的会是完全不同的随机数值，而XX-1，X取0到1的某个数字，迭代计算一段时间后，发现数字出现的模式稳定地在0与1之间振荡，称为“以周期为二的周期性”。/ 有些运算会收敛到一个数值后简单重复（周期数为一，因为每次计算得到与原来相同的值），有些看似随机，还有些呈周期性，“周期数为二”只是众多复杂可能情况中简单的一种。所有这些模式都可以在真实世界中看到，它们可以广泛地运用在水龙头滴水的模式（周期为一），或是野生动物的数量变化（随机）以及股市振荡上（周期为二）。（老K注：牛熊交替就是股市的周期为二的表现）/ 我们已经找到混沌与复杂之下的简洁本质——非线性性质的简单法则，对初始条件的敏感度及回馈策动了世界的运行。

4. 如果反向进行数值运算行星轨道，将无法得到初始点，轨迹的计算不可逆。/ 关键在于数字的特质。/ 最有名的PI，无法写出两个整数的比例，因此被称为无理数，而且只能用无穷不循环的数字表达。......大多数字都是无理数！这就是当我们试图在相空间找出系统的确切位置时，牛顿（或拉普拉斯）式的可逆性遭遇混沌困扰的症结所在。/ 对于一个对初始值极敏感的系统，无论我们选择使用（无理数）的多少位数开始，系统的未来都可能如罗伦兹所发现的，必须高度依赖于我们没有纳入的那一位。/ 唯一能详尽描述宇宙的系统，就是宇宙本身。除了看着它演变，我们也完全无法预测未来。

第三章：秩序衍生混沌

1. 我们所说的混沌是全然有序、决定式的，原则上可依因果关系预测其每一阶段，只是实际预测的细节赶不上真实事件发生的速度。/ 思考简单模型：一片平缓的河流中冒出一块大石头，水面上的一小片木屑会依着“水流线”移动，如果上游下了雨，水流量增加，过程中至少有3个变化，大家都看到过，却没有仔细思考它们背后的含义。首先，当水量增加，石头后面会产生一些小漩涡，可能会让一块顺流而下的小木屑陷入其中，在原地打转一段时间。...相空间里面的某种会使系统兜圈子的漩涡，这种吸子被称为“极限回圈”，每个石头后面的漩涡都是一个“极限回圈”。接下来，当水流速度增加，新的涡流会不断在石头后产生，然后依次离开。...当水流进一步增强，石头后涡流能形成的区域变得愈来愈小，涡流几乎在出现后立即瓦解。...最后，当水流够快，所有石头后面能看到的秩序都不见了——在石头后面没有涡流形成，水流以不可预测的混乱状态分开。/ 从有序到混沌乱流的过程中有两个关键特性：第一、某些事物（水流速度）发生改变。...第二、从有秩序到混沌之间的复杂之过渡阶段中，也就是涡流在石头后消失的过程，会发现一些非常有趣的事。...通向混沌的道路，似乎涉及在无限小尺度下的无限随机作用。/ 开水龙头滴水，逐渐开大，“嗒、嗒、嗒、嗒”->“咚咚、咚咚、咚咚”->...->“滴滴答答、滴滴答答、滴滴答答”->...（周期加倍）...->迈向混乱、类似随机的滴水模式->平顺水流->...->杂乱不稳。/ 数学家约克和他的同事李天岩指出，某群微分方程式如果存在一个周期为三的解，那么也必然存在无穷的周期解，任何周期都存在，此外还存在无穷的非周期解。/ 1970年代中期，费根堡指出，经由周期加倍进入混沌并非后勤方程式的特性，而是具有回馈机制系统的产物。

2. 碎形在19世纪末就被数学家发现，当时被视为是不相容主流数学有序世界的“怪物”。等你看了一个将它们怪异特性发挥到极致的例子，就会明白为什么。/ 意大利数学家皮亚诺在1890年发表一篇论文，描述如何构建一条可以完全填满平面的曲线。皮亚诺曲线无线长，但它存在于一个有限区域里，介于这“填充空间”的曲线，与描述乱流时在相空间中缠绕圆环的吸子，有明显的相似之处。/ 曼德布认为像皮亚诺曲线的这类物体，可以被描述为具有中间维度，直线是1维体，平面是2维体，但正如每两个有理数中间存在无穷多的数字一样，直线和平面之间也应该可以存在中间的、非整数维度的实体。曼德布说：我在1975年创造“碎形”这个词，它来自于拉丁文“fractus”，意思是碎裂、不规则的石头。/ 康托集合虽然很简单，对于混沌却具有相当关键的重要性，首先，康托集合是由回馈产生的，其次它是自我类似的。回头看经由周期加倍通往混沌的分歧图，就在混沌发生时，在混沌出现前的最后一步，分歧树状图的所有分支端点形成康托集合，这就暗示（或者应该说明示）碎形与混沌之间存在着深层的联系。/ 村民抱怨过去一年停电了好几次，电力公司则对每一次停电都有完全合理的解释，一次是因为鸟飞进高架电线，一次是因为强风把树吹到在电线上，一次是因为闪电......。但村民还是深信电力系统本身有问题。现在混沌理论告诉我们，这一连串的区域性灾难，必然发生于电力网路上。但它无法告诉我们何时何处，只能给受害百姓一些小小的安慰。（老K注：想想芒格对于股市灾难的泰然解释吧，也许来源于此）/ 碎形的另一个数学怪物：“沙品斯基气泡板”，是由波兰数学家沙品斯基1916年创造出来的。（老K注：我就不解释了，大家可以网上搜，列图显示如下，这个碎形好像曾经在李驰的博客上也看他提及过）/ 虽然“柯克岛屿”可以被一个接触大卫之星六个顶点的圆所包纳，然而它的“海岸线”却是无限长。那么，实际的海岸线是碎形吗？/ 曼德布在论文中说，海岸线长度取决于测量尺度，如果用的尺度够小，测得长度将趋近无限。/ 柯克曲线，将长度分为四份再放大三倍，得到与原来相同的柯克曲线。所以3的N次方等于4，N等于1.2619，这就是柯克曲线的维度，介于1和2之间，比较接近直线而非平面。英国不列颠的海岸曲线维度为1.3。/ 我们唯一要强调的是，极度复杂的物体可用非常简单的式子以迂回方式产生。从这个角度出发，所有东西都简单。

3. 在比例法则中所使用的乘方，或指数，这种关系称为幂次律，如3的1.2619次方等于4。/ 仔细检视生物体之后，我们发觉生命系统中有许多特征看来像碎形。比方说动脉和静脉分布的形态上本质就是碎形，它使得血液能够到达身体的每一处，同时避免动、静脉本身占据太多空间而使其他器官无容身之地。/ 肾脏本身是有限的三维物体，而其中血管的长度接近真正碎形的无限。/ 正是潜藏于碎形结构之下的简单规则，使得生物可以变得非常复杂，来应世界的变迁以进行演化。/ ......从简单的一侧看起，复杂度逐渐增加，从周期一的滴水（嗒、嗒、...）开始，产生愈来愈有趣的现象直到混沌突然介入。......因此，宇宙中最复杂、最有趣的事情发生于秩序即将破灭、混沌正要开始的一刻。

第四章：混沌的边际

1. 平衡本身没有太大意思，因为什么都没发生。但事物如何趋于平衡，就是个很有意思的问题。一个生物体最接近平衡状态的时刻是死亡。相比较之下，“某生物是死的”比“它是如何死的”无趣多了，而这正是侦探小说或神秘谋杀故事之所以畅销的先决条件。（老K注：“简单地判断股票估值高或低”而进行买卖，相当于只找了2个静态平衡端，而这比“价格会趋向更高或会趋向更低”显然无趣多了，所以这也是趋势投机畅销的原因）/ 在线性国度中，事物会以稳定状态存在。比如人类可以利用身体中流动的能量（与食物）保持稳定的身体状态达数年之久，虽然在这个例子中，稳定状态终究会被尚未可知的原因打破。/ 接下来的二十年中，普里戈金与他在布鲁塞尔的同事（被称为“布鲁塞尔”学派）专注于试图找出描述远离平衡，也就是微小外界改变会对系统产生重大影响的非线性领域的数学模型。直到今日，这个梦想中的目标仍摇不可及，距离发展出确切理论还有好长一段路。

2. 乔登对所有物体进行计算后发现，如果质量集中于一点，对应重力场具有的负能量将是“-mcc”，恰好抵消掉它的正质能能量，换言之，正如伽莫夫对爱因斯坦所说，一个星球可以无中生有。/ 所以整个宇宙的能量为0，当泡泡胀大，就成了我们今日所见经历扩张的宇宙。......宇宙最重要的特性是它正持续扩张。/ 运用相对论加上对现在宇宙扩张的速度，我们可以算出大爆炸到现在的时间，大约是140亿年。/ 天文学有个很棒的特性，因为光线在空间旅行得花时间，我们看到很远的东西时，是它们在很久前的状态。（老K注：呵呵，你在赏月时，此月已非此月了，你看到的只是月亮很久之前的状态）/ 重力场的负能量使熵可以以这种方式被吞噬，这解释了为什么宇宙现在并不处于热力平衡状态。

3. 1952年，涂林发表了一篇论文，内容描述均匀混合的不同化学物质，可能因内部扩散作用而自发地打破原来的平衡。......涂林认为，以这种数学模型运作的过程，可能真正发生于胚胎，以发展出原先不存在的图案。/ 涂林计算出混合的化学物质中可能出现图案，如果存在催化剂A，不单能促使更多的A产生，还可以产生另一种化合物B，B是抑制剂，使A的产生速率降低。......因为B必须在混合物中扩散得比A快，因此虽有A经自动催化回馈机制而急剧增长的局部现象，然而B对A的抑制却是普遍的现象。另外，因为B的产生后会快速扩散，表示它并不会在产生处完全阻止A的产生。（老K注：这个道理适用于病菌抗体、股市收益率、企业增长率等）/ 涂林研究成果的精髓在于，他指出一种化学方程式可以自发地打破起始时的均衡，并形成原先并不存在的图案——如果真的有某种以这种方式运作的化学系统。/ 贝洛索夫调制了一组化学混合物，他认为可以模仿出葡萄糖在人体类分解时的酵素作用的一些特征，结果令人吃惊，他眼前的液体由透明无色转为黄色，然后再转变回透明，并有韵律地规则重复。以当时对于热力学第二定律（熵永远增加的定律）的了解，这是不可思议的。因为两个状态不可能同时具有比对方高的熵值。/ ......整个过程印证了普里戈金与他的伙伴早先发展出对第二定律远离平衡时该如何被修正的见解。/ 如果逐渐增加新物质进入系统与“没用的产品”由系统中移出的速率，到达某个临界点时，振荡的模式将变得更复杂，出现双重节奏，...继续增加反应物添加速率，将出现类似滴水水龙头与其他先前提过各式眩目例子中发生的一连串周期加倍，周期模式将愈来愈不明显，系统将越过边际进入混沌。

4. 动物皮上出现不同图案，与表面大小的关联性，可以从猫科动物尾巴上找到一个有趣的例子。/ 在形态发育与进化生物学中，有时微小的作用会产生微小改变，有时微小的作用会产生很大的改变，原则上这些都可经由涉及简单化学反应的图案形成模型来理解。另一方面，在我们生活的世界，微小、随机的改变也可能产生或大或小的改变，特别是面对处于混沌边际的发散系统。

第五章：地震、物种灭绝与突变

1. 一个关于地震最直觉的问题就是规模不同地震发生的相对频率。/ 芮克特用芮氏规模测量地震强度，用的是对数尺度，每增加一个单位，相对的能量就增加三十倍。2级地震比1级地震强30倍，3级地震又比2级地震强30倍。/ 1950年代中期，他们找出全世界发生的地震资料，然后把每半级地震分进一个“箱子”，比如把介于5到5.5级地震的记录放进同一箱子，介于5.5到6级的放入下一个箱子等等。因为芮氏规模本身是对数的，为了在相同尺度下比较，他们也将这些数字取对数。每一个箱子中地震发生次数的对数和它们的芮氏强度的关系，是如下图所示的一条直线。小地震发生次数非常频繁，大地震很少见，介于之间任何尺度的地震发生的次数都落在这2个极端所构成的直线上。这意味着地震的尺度和发生的数目遵循幂次律（power law）。/ 同一个简单的法则在所有能量范围都适用。很明显地，这告诉了我们世界是如何运作的一些基本概念，其中一部分和我们在第三章看到的混沌和碎形有关联，那时幂次律也出现过。挪威海岸线碎形尺度的度量遵循幂次律，用冰冻马铃薯朝墙上扔使其碎成小块，将碎片依照重量放入不同箱子（像之前统计地震一样），也会找到幂次律。（老K注：呵呵，有点神奇吧）/ 你可以用“事件发生几率等于1除以其尺寸的某个指数”来反映这个现象。换个角度看，你也可以说，事件的大小和1除以它发生频率的某个指数成正比。通常被称为“1除以f杂讯”，写成“1/f杂讯”（1/f noise）。......1/f杂讯在许多不同系统（光学、声学）中自然显现......就我们的需要，“幂次律行为”和“1/f杂讯”可以视为同义词。（老K注：当第一遍看完这本书后，我就对幂次律神魂颠倒，想象一下全世界的股市历史中，价格偏离价值的幅度吧，也许同样遵循幂次律！所以，我看到低估的四折价格，就不会去预测是否会有三折价格等着我，因为按照幂次律，我的那支股票出现三折的几率会更小，同样二折、一折都是可遇不可求，其几率更加渺小，高估也是同样的概念）/ 全球平均气温从十九世纪中期开始上升，它看来与类星体天文学研究的光曲线十分类似，在升高的大趋势中带有弯曲的起伏。研究显示，这些振荡确是1/f杂讯。/ 1940年代，哈佛大学的乔治齐夫研究了世界上的城市人口数。很明显地，少数城市拥有非常多的人口，而大部分城市的人口较少。令人意外地（虽然你可能已经猜到会发生什么），当那时代不同大小的城市被装入箱子，再与对应人口数画成对数-对数图，得到的是一直线。/ ....../ 特别是因为有回馈机制，经济事实上是在混沌边缘自我组织的系统。只是情况更加复杂，因为我们身处其中，而人类本身就是试图分析的经济系统中不可分割的一部分。尽管如此，即使在最粗浅的层次看，也毫无理由怀疑股市振荡的行为属于1/f杂讯，而任何人如果还相信政府能够掌控经济，必然还活在脱离现实的世界中。

2. 恐龙大约在6500万年前绝迹，伴随的是一次地球生命大灭绝，而这异常明显地表现在地质记录上，因而被用来标记一个地质时代——白垩纪的结束与第三纪的开端。——K-T界线。/ 这里产生了和研究大地震时同样显而易见的问题——它为什么发生？会不会再发生？如果会，在什么时候？/ 在全世界的6500万年前的地层中，都可找到一种称为铱的重金属，这是地球上很罕见的金属，但在某些已知的陨石中含量很高。这意味，一块差不多十公里的大陨石撞击力地球，造成这场大灾难。/ K-T事件事实上只是五次类似灾难的其中之一（从地球上所存在生命的角度而言），而K-T事件还不是最大的。每一次灭绝都被用以标志区分不同的地质纪元，且它们都发生在距今6亿年之间。/ 五大灭绝分别发生于4.4亿年前、3.6亿年前、2.5亿年前、2.15亿年前、0.65亿年（K-T事件）前。/ 大灭绝是否真是特殊事件，与一般发生的灭绝本质不同？或者它们只是同样的事件，不过就是规模较大？地球上物种的消失，是否如果地震现象一样，是超越尺度的？老实说，“不知道”。但有足够证据显示确有这种可能。/ 塞科斯基以每四百万年为单位，画出过去6亿年中物种灭绝数量的起伏。......物种灭绝同样遵循幂次律。/ 所以，这样看来，所有地球上生命的灭绝，似乎不都是太空来的撞击造成。某些灭绝可能因陨石撞击造成，某些可能由冰河时期引发。但我们从幂次律与1/f杂讯中学到的教训是，并不需要一次重大诱因，便能引发重大事件，任何尺度的灭绝可能由任何尺度的诱因导致。（老K注：2007年疯狂的A股牛市泡沫即使不因美国金融危机爆发而破灭，也一定会因为任一不可知的诱因导致破灭，寻找自我回馈的拐点实在是一件无用的事情，这也是我个人认为芒格境界比索罗斯高的理由。......为了应对索迷们的潜在攻击，晚上我补充说明一下：索罗斯的香港兵败看似偶然，其实有一定必然性。自我激励或自我回馈导致系统过度失衡，索罗斯认为在某种情况下，试加外力就可以使其逆转，然而当其将自己的力量作为系统逆转的诱因时，忽略了曾哥也可以利用力量充当针对自己诱因的抑制诱因。他事后哀叹自由市场已死，实际上是哀叹自己也不能脱离于系统之外对系统施加产生拐点的影响。拐点就是事后才知道的，无法预测，也不要想去操纵，研判系统中的主流倾向并不能把握拐点。）/ 我们发挥科学优良传统，找到一项普遍的定律——幂次律——广泛地适用于各种复杂情况。

3. “沙堆模型”，桌上每次滴一粒沙，形成沙堆，并开始有沙满出桌面，掉落到地上。系统此时处于临界的自我组织状态，依赖落下的沙粒带入能量。/ 每加入一粒沙可能引发一次大规模沙崩，或一系列小沙崩，或让新沙粒巧妙地平衡于沙堆上，但沙堆一直处于接近临界状态。（老K注：谁玩过游艺机里面的推铜板游戏，差不多）/ 产生的崩塌，都遵循幂次律。/ 考夫曼宣称，这就是生命出现的途径——在具有足够数量连接（各化合物）的化学系统网路中，以相转移的方式发生。...如果网路连接得不够，生命不会存在，但多加入一两个连接，生命不但可能而且是无可避免地出现。/ 如考夫曼所言，“生命因为催化回路本身在某一临界多样性的分子回路中形成而产生”。/ 人体细胞运作的网路可以将每个基因当成一个节点，而其间的关联就像串接钮扣的线。涉及的基因数介于3万到10万，即使用最先进的电脑也无法描述这个网路的行为。/ 强烈暗示了即使像我们这种宇宙间最复杂的生物，也是从简单的规则中产生。（老K注：见下图，神奇的幂次律造就人类）

第六章：生命的真相

1. 达尔文式进化的精义可以归纳为三个步骤，而这一连串的逻辑推论，简单、直接的程度让它听起来像是重复的空话。首先，子女和父母相似，特征是代代遗传的；其次，这个复制遗传的过程并非完美，所以每一代个体间存在少许差异；最后，“物竞天择，适者生存”。/ 进化生物学家史密斯的研究：全是鸽派，没人受伤，大家都有得吃，简直是乌托邦世界。......全是鹰派，结果就是大灾难，每一次相遇都导致战斗。......当鸽派与鹰派的比例在5:7时，将会达到平衡点。/ 1999年，MIT的阿马拉尔和波士顿大学的梅耶将掠食者与猎物加入巴克和史尼本的赛局中，而这依然是真实世界运作方式的简化版本，但对模型描述现实的能力产生巨大的改进。在这个改进的版本中，食物链有6个阶层......令人惊讶的戏剧性结果是，除了少数极端的版本，系统总是会停留于某一临界状态，其中发生灭绝的模式呈幂次律，与我们从真实化石记录所得到的物种灭绝模式相类似。/ 我们完全无法预测下一次横扫生态网路的灭绝程度的大小，正如无法预测一下旧金山地震的规模。偶尔一个小小诱因，都可以使整个系统发生巨大改变。生命与无生命系统，都遵循着同样深奥的宿命。/ 在各式各样的可能性中，无论初始状态如何，也无论所选定对生命系统的冲击如何，都将会到达位于混沌边缘、自我组织的临界状态，此时偶尔一个小小诱因，都可以使整个系统发生巨大改变。而生命也确实如此。

第七章：远方的生命

1. 法国的光谱学观测首次显示，火星大气几乎完全由二氧化碳组成，只有些许其他气体的踪迹，是一个处于高熵状态下，稳定而缺乏反应的大气，相对于热力平衡状态。...当时拉夫洛克正打算运送一组测量熵的实验到火星（以熵的衰减来探测生命的存在），却遭受重大打击，这些地面上的观察显示实验毫无必要。...现在的火星是个死寂的行星。/ 地球大气层保持在这似乎稳定的状态已经几亿年，“大气必定受到某种规范，使其保持固定的组成。而且，若大部分的气体是来自生命组织，地表上的生命必定主控调节”。这就是盖娅——将地球视为一个自我调节系统。/ 1925年，洛特卡写道：“我们通常习惯谈一个物种的进化，当我们更进一步，将会发现许多理由让我们应该将进化对象视为整体系统（生物加系统）。乍看之下，这似乎比只考虑一部分的系统还要复杂。然而，若我们深入研究，很明显地，当系统被视为整体而非个别部分时，控制进化的物理定律之所有可能性都将变得更简单。”