好题分享｜数列与计数的综合
最近的中高考、学业水平考，让整个的正常教学思路有点乱了。
最近就一直的以“学生做题，老师讲题”为主，度过了好几天晕晕乎乎的日子。
不过，通过做题，也确实是发现了一些好题。
当然，于我来说，就是发现了一些可以推敲的素材了。
今天的研究，主要也还是从最近学生做的卷说起。
说起难度，当然应该还不算是难的。
说起它的好，应该是因为读了这题，便有很多似曾相识的感觉。
当然，今天讲这题，更多的是想通过处理这道题的心路历程，来展示数学解题的基本思维过程。
我想，这种方式，对于学生来说，或多或少将会有些受益的。
读了题干，首先想起的，就是某一年的高考题。
真的忘记了，是哪年哪省的考题了。
但每次讲排列组合，都会是我要提起的一道题。
当然，也是因为它的好。
回忆一：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
其实这道题，难度也并不大，穷举也就可以了。
在排列组合里，我们把它称之为“错位排列问题”。
而我，一般称之为“乱座问题”。
其实，对于元素较少的“乱座问题”，穷举法或树图分析法，应该都算是很好的方法了。
可是你知道吗？这个问题其实又叫——伯努利-欧拉装错信封问题。
是不是感觉一下子，就显得高大上了起来？
所以，我说它的“好”，主要就是指命题的背景了。
其实它的来历也很简单的，
竟然只是因为，伯努利和欧拉在错装信封时发现了。
所以，不得不说，生活处处皆数学。
只是有心的人能发现，所以他们成为了“家”，而你却永远觉得生活很自然，所以只能“学”。
其实，如果深究一点，这个题的处理思路，真的还是挺深奥的。
我们就研究一下，全错位的情况，而且让元素的个数多起来。
当然，如果要写的更好看点，还可以写成下面这个样子：
是不是也觉得，这个样子更整齐呢。
而且用到了数列的记法，整体替换的感觉，真的觉得很爽很开心。
现在看来，说这题还好的原因，除了背景，可能更多的应该是题目的综合性了。
原来，计数的问题，还可以从数列的角度思考。
其实，还有一个我比较喜欢的题，也是我珍藏了好久的。
回忆二：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶：
①若共走了7步，一共有多少种不同的走法？
②一共可以有多少种不同的走法？
其实这道题不错的原因，一方面是因为它的综合性，而另一方面便是它的可变性。
看了下面的解法，就能理解我的意思了。
原来，规定了“步数”这个条件，就是个排列题，而且还是学生普遍认为难了点的“有相同元素的排列问题”。
而没有了步数的限制，虽然也是可以能过分类讨论，转化为上面的思路的。但是有没有觉得这里数列递推的思路，显得更为简洁呢。
而且有没有发现，这个
不是很有名的“斐波那契数列”的递推式么！
当然，是在第一和第二项都是1的情况下。
还记得它的通项公式么？
也真的是难以想象，一个完全的自然数列，却能用无理数来完美诠释！
谁能说这样的效果，不神奇呢！
更神奇的是，据说这个数列相邻两项的比值，竟是无限接近黄金分割比的！
好了，下面还是要认真的解决下“引子”提出的问题。
其实，说了这么多，大家也能看出来，之所以能顺利地解决这个“引子”中的问题，主要还是缘于自己以往解同类题的经验吧？
毕竟，有过经验才能有对于问题的联想。
因此，做好题，记好题的习惯，就显得尤为重要了。
当然，用心的整理和总结，也是非常重要的。
最后再强调下我的经验：
“做好题，记好题，勤整理”
是学习数学最好的习惯。