好题分享|数列与计数的综合

最近的中高考、学业水平考,让整个的正常教学思路有点乱了。

最近就一直的以“学生做题,老师讲题”为主,度过了好几天晕晕乎乎的日子。

不过,通过做题,也确实是发现了一些好题。

当然,于我来说,就是发现了一些可以推敲的素材了。

今天的研究,主要也还是从最近学生做的卷说起。

说起难度,当然应该还不算是难的。

说起它的好,应该是因为读了这题,便有很多似曾相识的感觉。

当然,今天讲这题,更多的是想通过处理这道题的心路历程,来展示数学解题的基本思维过程。

我想,这种方式,对于学生来说,或多或少将会有些受益的。


读了题干,首先想起的,就是某一年的高考题。

真的忘记了,是哪年哪省的考题了。

但每次讲排列组合,都会是我要提起的一道题。

当然,也是因为它的好。

回忆一:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )

 A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

其实这道题,难度也并不大,穷举也就可以了。

在排列组合里,我们把它称之为“错位排列问题”。

而我,一般称之为“乱座问题”。

其实,对于元素较少的“乱座问题”,穷举法或树图分析法,应该都算是很好的方法了。


可是你知道吗?这个问题其实又叫——伯努利-欧拉装错信封问题。

是不是感觉一下子,就显得高大上了起来?

所以,我说它的“好”,主要就是指命题的背景了。

其实它的来历也很简单的,

竟然只是因为,伯努利和欧拉在错装信封时发现了。

所以,不得不说,生活处处皆数学。

只是有心的人能发现,所以他们成为了“家”,而你却永远觉得生活很自然,所以只能“学”。

其实,如果深究一点,这个题的处理思路,真的还是挺深奥的。

我们就研究一下,全错位的情况,而且让元素的个数多起来。

当然,如果要写的更好看点,还可以写成下面这个样子:

是不是也觉得,这个样子更整齐呢。

而且用到了数列的记法,整体替换的感觉,真的觉得很爽很开心。

现在看来,说这题还好的原因,除了背景,可能更多的应该是题目的综合性了。

原来,计数的问题,还可以从数列的角度思考。

其实,还有一个我比较喜欢的题,也是我珍藏了好久的。

回忆二:一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶:

①若共走了7步,一共有多少种不同的走法?

②一共可以有多少种不同的走法?

其实这道题不错的原因,一方面是因为它的综合性,而另一方面便是它的可变性。

看了下面的解法,就能理解我的意思了。

原来,规定了“步数这个条件,就是个排列题,而且还是学生普遍认为难了点的“有相同元素的排列问题”。

而没有了步数的限制,虽然也是可以能过分类讨论,转化为上面的思路的。但是有没有觉得这里数列递推的思路,显得更为简洁呢。

而且有没有发现,这个

不是很有名的“斐波那契数列”的递推式么!

当然,是在第一和第二项都是1的情况下。

还记得它的通项公式么?

也真的是难以想象,一个完全的自然数列,却能用无理数来完美诠释

谁能说这样的效果,不神奇呢!

更神奇的是,据说这个数列相邻两项的比值,竟是无限接近黄金分割比的!

好了,下面还是要认真的解决下“引子”提出的问题。

其实,说了这么多,大家也能看出来,之所以能顺利地解决这个“引子中的问题,主要还是缘于自己以往解同类题的经验吧?

毕竟,有过经验才能有对于问题的联想。

因此,做好题,记好题的习惯,就显得尤为重要了。

当然,用心的整理和总结,也是非常重要的。

最后再强调下我的经验:

做好题,记好题,勤整理

是学习数学最好的习惯。

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