「真题卷」云南省中考2020昆明市中考数学试卷及答案解析

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一、填空题(每小题3分) 1. 10　2. n(m＋2)(m－2)　3. 95　4. x≠－1　5. 10π 6. (－1)n

二、选择题(每小题4分) 7－11　ADBCB　12－14　CDC

【解答题参考答案，部分未显示公式，可私信答疑】

15. 解：原式＝1－2＋1－(－5)(4分)

＝5.(5分)

16. 证明：∵AC是∠BAE的平分线，

∴∠CAB＝∠EAD，(1分)

在△BAC和△DAE中，

，(3分)

∴△ABC≌△ADE(AAS)，(5分)

∴BC＝DE.(6分)

17. 解：(1)补全频数分布表和频数分布直方图如解图所示；

尺码/cm	划记	频数
21.5≤x<22.5		3
22.5≤x<23.5		12
23.5≤x<24.5		13
24.5≤x<25.5		2

(3分)

(2)23.5；(4分)

解法提示 在这30个数据中，数据23.5出现了9次，出现次数最多，∴众数是23.5.

(3)120×＝60(双)，(6分)

答：若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约60双．(7分)

18. 解：(1)列表如下：

小杰　　小玉	1	3	5
2	(2，1)	(2，3)	(2，5)
4	(4，1)	(4，3)	(4，5)
6	(6，1)	(6，3)	(6，5)

(3分)

由列表可知，共有9种等可能的结果(4分)

　一题多解 画树状图如解图：

(3分)

由树状图可知，共有9种等可能的结果；(4分)

(2)这个游戏公平，理由如下：

由(1)可知，得到的两数字之和是3的倍数的结果有3种，即(2，1)，(4，5)，(6，3)；得到的两数字之和是7的倍数的结果有3种，即(2，5)，(4，3)，(6，1)，(5分)

∴P(小杰赢)＝＝，P(小玉赢)＝＝.(6分)

∵P(小杰赢)＝P(小玉赢)，

∴此游戏公平．(7分)

易错警示 易错点在于小杰和小玉赢的条件中两数字之和的倍数不同，而不是互补对立的条件，易因惯性思维导致错解．

19. 解：(1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要x min，一间教室的药物喷洒要y min，(1分)

根据题意，得，(3分)

解得，(4分)

答：校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min，一间教室的药物喷洒要5 min，(5分)

(2)由(1)得，m＝5，则n＝2×5＝10，

∴A(5，10)．(6分)

设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y＝(k≠0)，

则10＝，解得k＝50，

∴y＝.(7分)

当y≤1时，即≤1，解得x≥50，

∵11×5＞50，

∴当校医把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能进入教室．(8分)

20. (1)【思维教练】要证PC是⊙O的切线，需先证出OC⊥PC，则根据定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”来证明．

解：作图如解图①所示；(2分)

作法提示) 以E为圆心，EP长为半径作弧，交⊙O于点C，连接EC，PC.

证明：如解图①，连接OC，

∵点E是线段OP的中点，

∴OE＝EP.

∵EC＝EP，

∴OE＝EC＝EP，

∴∠OCP＝90°，

∴OC⊥PC.(3分)

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线；(4分)

(2)【思维教练】要求PC的长，可放在Rt△OCP中，先求出OC，OP的长，再用勾股定理求解．

解：∵BP＝4，EB＝1，

∴EO＝EP＝EB＋BP＝5，

∴OP＝2EO＝10，(6分)

∴OC＝OB＝EO＋EB＝6.(7分)

在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，根据勾股定理，得

PC＝＝＝8.(8分)

　一题多解

如解图②，连接OC、AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA＋∠OCB＝∠ACB＝90°.

∵∠BCP＋∠OCB＝∠OCP＝90°，

∴∠BCP＝∠OCA.

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠A＝∠BCP.

∵∠P＝∠P，

∴△BCP∽△CAP，

∴＝，

∴PC2＝BP·AP.(6分)

∵BP＝4，EB＝1，

∴EO＝EP＝EB＋BP＝5，

∴OA＝OB＝EO＋EB＝6，

∴AP＝2OA＋BP＝16，

∴PC2＝4×16＝64，

∴PC＝8.(8分)

21. 解：(1)6.4×106；(2分)

(2)如解图，过点C作CF⊥BE于点F，(3分)

则四边形CABF是矩形，

∴BF＝AC＝1.5 m，CF＝AB＝800 m．(4分)

在Rt△ECF中，∠CFE＝90°，

tan∠ECF＝，(5分)

∴EF＝CF·tan∠ECF＝800·tan37°≈800×0.75＝600 m．(6分)

∵d＝800，R＝6400000，

∴f＝＝＝0.043，(7分)

∴该山的海拔高度为(600＋1.5－2)＋1800＋0.043≈2399.54 m．(8分)

答：该山的海拔高度约为2399.54 m．(9分)

22. (1)【思维教练】要求抛物线y2的解析式，可先求出它的顶点A的坐标，而点A也是抛物线y1＝－x2＋4与x轴负半轴的交点，令y＝0可求出点A的坐标．两函数解析式联立求解即可得到B点坐标．

解：当y1＝0时，即－x2＋4＝0，解得x＝±2，

∵点A在x轴负半轴上，

∴A(－2，0)．(1分)

∵y2＝－x2＋bx＋c的最高点为A(－2，0)，

∴，解得.(2分)

∴抛物线y2的解析式为y2＝－x2－x－.(3分)

一题多解 当y1＝0时，即－x2＋4＝0，解得x＝±2，

∵点A在x轴的负半轴上，

∴A(－2，0)．(1分)

∵y2＝－x2＋bx＋c的最高点为A(－2，0)，

∴抛物线y2的解析式为y2＝－(x＋2)2，

即y2＝－x2－x－.(3分)

当y1＝y2时，即－x2＋4＝－x2－x－，

解得x1＝3，x2＝－2(舍去)．(4分)

∴当x＝3时，y＝－32＋4＝－5，

∴B(3，－5)．(5分)

(2)【思维教练】设C的横坐标为m，用含m的代数式表示出点C，D的纵坐标，列出CD关于m的函数解析式，根据函数的性质求出CD的最大值及点C的坐标，从而求出S△BCD的值．

解：如解图，设点C(m，－m2＋4)，则点D(m，－m2－m－)，

∵点C是抛物线y1上A，B之间的一点，

∴－2＜m＜3，

∴CD＝－m2＋4－(－m2－m－)

＝－m2＋m＋.(6分)

当m＝－＝时，CD有最大值，

即CD＝－×()2＋×＋＝5.(7分)

如解图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，

∵点C的横坐标为，点B的横坐标为3，

∴BE＝3－＝，

∴S△BCD＝CD·BE＝×5×＝.(8分)

23. (1)【思维教练】要证明四边形AEFD是矩形，先证四边形AEFD是平行四边形，再证有一内角是直角即可．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°.(1分)

∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE＝AB，DF＝CD，

∴AE＝DF，(2分)

∵AE∥DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，(3分)

∵∠A＝90°，

∴四边形AEFD是矩形；(4分)

(2)【思维教练】根据轴对称性质可得OM＝OA，根据线段垂直平分线性质，可证出OA＝OB，从而证出OB＝OM.

解：如解图①，连接OA，AM，

∵点A关于BP的对称点为点M，

∴BP垂直平分AM，(5分)

∴OA＝OM.(6分)

∵四边形AEFD是矩形，

∴EF⊥AB.

∵点E是AB的中点，

∴EF垂直平分AB，

∴OA＝OB，(7分)

∴OB＝OM.(8分)

　一题多解 如解图①，连接OA，AM，

∵点A关于BP的对称点为点M，

∴BP垂直平分AM.(5分)

∴OA＝OM，(6分)

∵四边形AEFD是矩形，

∴EO∥AP，

∴＝＝1，

∴BO＝OP，

在Rt△ABP中，AO＝BO＝BP，(7分)

∴OB＝OM；(8分)

(3)【思维教练】要使△AMD是等腰三角形，则情况有三种：①AD＝AM；②MA＝MD；③DA＝DM，且当MA＝MD时，点P即可在AD上也可在AD的延长线上，利用相似三角形对应边成比例的性质或勾股定理求出AP的长．

解：分四种情况：

①当MA＝MD，且点P在边AD上时，

如解图②，过点M作直线MH⊥AD于点H，交BC于点G，连接PM，BM，

∵AD＝BC＝8，

∴AH＝AD＝4.

∵∠BAH＝∠ABG＝∠AHG＝90°，

∴四边形ABGH是矩形，

∴BG＝AH＝4，HG＝AB＝5.

∵BP垂直平分AM，

∴BM＝BA＝5，AP＝PM.

在Rt△BGM中，∠BGM＝90°，由勾股定理，

得MG＝＝＝3，

∴HM＝2.

设AP＝PM＝a，则PH＝4－a，

在Rt△PHM中，∠PHM＝90°，由勾股定理，

得PH2＋HM2＝PM2，

即(4－a)2＋22＝a2，解得a＝；

∴AP＝.(9分)

②当MA＝MD，且点P在边AD的延长线上时，

如解图③，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点G，连接PM，BM.

∵AD＝BC＝8，

∴AH＝AD＝4.

∵∠BAH＝＜ABG＝∠AHG＝90°，

∴四边形ABGH是矩形，

∴BG＝AH＝4，HG＝AB＝5，

在Rt△BGM中，∠BGM＝90°，BM＝BA＝5，由勾股定理，

得MG＝＝＝3，

∴HM＝8.

设AP＝PM＝a，则PH＝a－4，

在Rt△PHM中，∠PHM＝90°，由勾股定理，

得PH2＋HM2＝PM2，

即(a－4)2＋82＝a2，解得a＝10，

∴AP＝10；(10分)

③当DA＝DM时，如解图④，连接BM，

∵BA＝BM，

∴BD为AM的垂直平分线，即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点．

∵点A关于BP的对称点为点M，

∴点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点，

∴点D与点P重合，

∴AP＝AD＝8；(11分)．

第23题解图④

④当AM＝AD＝8时，如解图⑤，设BP交AM于点Q，连接PM，BM，

∵BP垂直平分AM.

∴BA＝BM＝5，AQ＝AM＝AD＝4.

在Rt△ABQ中，∠AQB＝90°，由勾股定理，

得BQ＝＝＝3.

∵∠ABQ＝∠PBA，∠BQA＝∠BAP＝90°，

∴△ABQ∽△PBA，

∴＝，即＝，

∴AP＝

综上所述，AP的长为或10或8或.(12分)