「真题卷」云南省中考2020昆明市中考数学试卷及答案解析
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一、填空题(每小题3分) 1. 10 2. n(m+2)(m-2) 3. 95 4. x≠-1 5. 10π 6. (-1)n |
二、选择题(每小题4分) 7-11 ADBCB 12-14 CDC |
【解答题参考答案,部分未显示公式,可私信答疑】
15. 解:原式=1-2+1-(-5)(4分)
=5.(5分)
16. 证明:∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠CAB=∠EAD,(1分)
在△BAC和△DAE中,
,(3分)
∴△ABC≌△ADE(AAS),(5分)
∴BC=DE.(6分)
17. 解:(1)补全频数分布表和频数分布直方图如解图所示;
尺码/cm |
划记 |
频数 |
21.5≤x<22.5 |
3 |
|
22.5≤x<23.5 |
12 |
|
23.5≤x<24.5 |
13 |
|
24.5≤x<25.5 |
2 |
(3分)
(2)23.5;(4分)
解法提示 在这30个数据中,数据23.5出现了9次,出现次数最多,∴众数是23.5.
(3)120×=60(双),(6分)
答:若店主下周对该款女鞋进货120双,尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约60双.(7分)
18. 解:(1)列表如下:
小杰 小玉 |
1 |
3 |
5 |
2 |
(2,1) |
(2,3) |
(2,5) |
4 |
(4,1) |
(4,3) |
(4,5) |
6 |
(6,1) |
(6,3) |
(6,5) |
(3分)
由列表可知,共有9种等可能的结果(4分)
一题多解 画树状图如解图:
(3分)
由树状图可知,共有9种等可能的结果;(4分)
(2)这个游戏公平,理由如下:
由(1)可知,得到的两数字之和是3的倍数的结果有3种,即(2,1),(4,5),(6,3);得到的两数字之和是7的倍数的结果有3种,即(2,5),(4,3),(6,1),(5分)
∴P(小杰赢)==,P(小玉赢)==.(6分)
∵P(小杰赢)=P(小玉赢),
∴此游戏公平.(7分)
易错警示 易错点在于小杰和小玉赢的条件中两数字之和的倍数不同,而不是互补对立的条件,易因惯性思维导致错解.
19. 解:(1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要x min,一间教室的药物喷洒要y min,(1分)
根据题意,得,(3分)
解得,(4分)
答:校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min,一间教室的药物喷洒要5 min,(5分)
(2)由(1)得,m=5,则n=2×5=10,
∴A(5,10).(6分)
设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y=(k≠0),
则10=,解得k=50,
∴y=.(7分)
当y≤1时,即≤1,解得x≥50,
∵11×5>50,
∴当校医把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能进入教室.(8分)
20. (1)【思维教练】要证PC是⊙O的切线,需先证出OC⊥PC,则根据定理:“如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形”来证明.
解:作图如解图①所示;(2分)
作法提示) 以E为圆心,EP长为半径作弧,交⊙O于点C,连接EC,PC.
证明:如解图①,连接OC,
∵点E是线段OP的中点,
∴OE=EP.
∵EC=EP,
∴OE=EC=EP,
∴∠OCP=90°,
∴OC⊥PC.(3分)
∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线;(4分)
(2)【思维教练】要求PC的长,可放在Rt△OCP中,先求出OC,OP的长,再用勾股定理求解.
解:∵BP=4,EB=1,
∴EO=EP=EB+BP=5,
∴OP=2EO=10,(6分)
∴OC=OB=EO+EB=6.(7分)
在Rt△OCP中,∠OCP=90°,根据勾股定理,得
PC===8.(8分)
一题多解
如解图②,连接OC、AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°.
∵∠BCP+∠OCB=∠OCP=90°,
∴∠BCP=∠OCA.
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∴∠A=∠BCP.
∵∠P=∠P,
∴△BCP∽△CAP,
∴=,
∴PC2=BP·AP.(6分)
∵BP=4,EB=1,
∴EO=EP=EB+BP=5,
∴OA=OB=EO+EB=6,
∴AP=2OA+BP=16,
∴PC2=4×16=64,
∴PC=8.(8分)
21. 解:(1)6.4×106;(2分)
(2)如解图,过点C作CF⊥BE于点F,(3分)
则四边形CABF是矩形,
∴BF=AC=1.5 m,CF=AB=800 m.(4分)
在Rt△ECF中,∠CFE=90°,
tan∠ECF=,(5分)
∴EF=CF·tan∠ECF=800·tan37°≈800×0.75=600 m.(6分)
∵d=800,R=6400000,
∴f===0.043,(7分)
∴该山的海拔高度为(600+1.5-2)+1800+0.043≈2399.54 m.(8分)
答:该山的海拔高度约为2399.54 m.(9分)
22. (1)【思维教练】要求抛物线y2的解析式,可先求出它的顶点A的坐标,而点A也是抛物线y1=-x2+4与x轴负半轴的交点,令y=0可求出点A的坐标.两函数解析式联立求解即可得到B点坐标.
解:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,
∵点A在x轴负半轴上,
∴A(-2,0).(1分)
∵y2=-x2+bx+c的最高点为A(-2,0),
∴,解得.(2分)
∴抛物线y2的解析式为y2=-x2-x-.(3分)
一题多解 当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,
∵点A在x轴的负半轴上,
∴A(-2,0).(1分)
∵y2=-x2+bx+c的最高点为A(-2,0),
∴抛物线y2的解析式为y2=-(x+2)2,
即y2=-x2-x-.(3分)
当y1=y2时,即-x2+4=-x2-x-,
解得x1=3,x2=-2(舍去).(4分)
∴当x=3时,y=-32+4=-5,
∴B(3,-5).(5分)
(2)【思维教练】设C的横坐标为m,用含m的代数式表示出点C,D的纵坐标,列出CD关于m的函数解析式,根据函数的性质求出CD的最大值及点C的坐标,从而求出S△BCD的值.
解:如解图,设点C(m,-m2+4),则点D(m,-m2-m-),
∵点C是抛物线y1上A,B之间的一点,
∴-2<m<3,
∴CD=-m2+4-(-m2-m-)
=-m2+m+.(6分)
当m=-=时,CD有最大值,
即CD=-×()2+×+=5.(7分)
如解图,过点B作BE⊥CD,垂足为E,
∵点C的横坐标为,点B的横坐标为3,
∴BE=3-=,
∴S△BCD=CD·BE=×5×=.(8分)
23. (1)【思维教练】要证明四边形AEFD是矩形,先证四边形AEFD是平行四边形,再证有一内角是直角即可.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=90°.(1分)
∵点E,F分别是AB,CD的中点,
∴AE=AB,DF=CD,
∴AE=DF,(2分)
∵AE∥DF,
∴四边形AEFD是平行四边形,(3分)
∵∠A=90°,
∴四边形AEFD是矩形;(4分)
(2)【思维教练】根据轴对称性质可得OM=OA,根据线段垂直平分线性质,可证出OA=OB,从而证出OB=OM.
解:如解图①,连接OA,AM,
∵点A关于BP的对称点为点M,
∴BP垂直平分AM,(5分)
∴OA=OM.(6分)
∵四边形AEFD是矩形,
∴EF⊥AB.
∵点E是AB的中点,
∴EF垂直平分AB,
∴OA=OB,(7分)
∴OB=OM.(8分)
一题多解 如解图①,连接OA,AM,
∵点A关于BP的对称点为点M,
∴BP垂直平分AM.(5分)
∴OA=OM,(6分)
∵四边形AEFD是矩形,
∴EO∥AP,
∴==1,
∴BO=OP,
在Rt△ABP中,AO=BO=BP,(7分)
∴OB=OM;(8分)
(3)【思维教练】要使△AMD是等腰三角形,则情况有三种:①AD=AM;②MA=MD;③DA=DM,且当MA=MD时,点P即可在AD上也可在AD的延长线上,利用相似三角形对应边成比例的性质或勾股定理求出AP的长.
解:分四种情况:
①当MA=MD,且点P在边AD上时,
如解图②,过点M作直线MH⊥AD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,
∵AD=BC=8,
∴AH=AD=4.
∵∠BAH=∠ABG=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形,
∴BG=AH=4,HG=AB=5.
∵BP垂直平分AM,
∴BM=BA=5,AP=PM.
在Rt△BGM中,∠BGM=90°,由勾股定理,
得MG===3,
∴HM=2.
设AP=PM=a,则PH=4-a,
在Rt△PHM中,∠PHM=90°,由勾股定理,
得PH2+HM2=PM2,
即(4-a)2+22=a2,解得a=;
∴AP=.(9分)
②当MA=MD,且点P在边AD的延长线上时,
如解图③,过点M作MH⊥AD于点H,交BC于点G,连接PM,BM.
∵AD=BC=8,
∴AH=AD=4.
∵∠BAH=<ABG=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形,
∴BG=AH=4,HG=AB=5,
在Rt△BGM中,∠BGM=90°,BM=BA=5,由勾股定理,
得MG===3,
∴HM=8.
设AP=PM=a,则PH=a-4,
在Rt△PHM中,∠PHM=90°,由勾股定理,
得PH2+HM2=PM2,
即(a-4)2+82=a2,解得a=10,
∴AP=10;(10分)
③当DA=DM时,如解图④,连接BM,
∵BA=BM,
∴BD为AM的垂直平分线,即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点.
∵点A关于BP的对称点为点M,
∴点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点,
∴点D与点P重合,
∴AP=AD=8;(11分).
第23题解图④
④当AM=AD=8时,如解图⑤,设BP交AM于点Q,连接PM,BM,
∵BP垂直平分AM.
∴BA=BM=5,AQ=AM=AD=4.
在Rt△ABQ中,∠AQB=90°,由勾股定理,
得BQ===3.
∵∠ABQ=∠PBA,∠BQA=∠BAP=90°,
∴△ABQ∽△PBA,
∴=,即=,
∴AP=
综上所述,AP的长为或10或8或.(12分)