分部积分法的优先法则
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分部积分法的优先法则
张敏廖毕文
(武汉军械士官学校基础部数学教研室湖北武汉430075) 摘要:本文给出了分部积分法的优先法则,并通过例题表明该法则方便,快捷,易理
解.
关键词:分部积分:优先法则;凑微分
【中图分类号】0172【文献标识码】A【文章编号】1671—8437(2011)01-0004-01
分部积分法在高等数学积分学中占有十分重要的地位,主 要解决被积函数是两种不同类型函数的乘积(如Jx2exdx,J Csinsdx等)的不定积分.分部积分公式为ludv=uv—Jvdu,看似 简单易记,但应用起来较难,难点在:很少需要求解的不定积分 已经具有fudv的形式,使得我们可以直接套用公式.一般情况 下,被积函数为两个函数的乘积f(x)g(x),我们需要保留其中一个 函数当作l1.而将另外一个函数与dx凑微分,写成dv的形式, 这就产生一个问题:在这两个函数中,优先选择谁与dx凑微分 呢?如果U和dv选择得当则计算非常顺利,反之,就会出现越来 越复杂或积不出来的现象.
关于u和dv的选择,绝大多数的本科教材概括为两点:(1) v要容易求得;(2)Jvdu要比ludv容易积出,学生对于这两点 往往是背得熟.但做题仍不知如何下手.部分教学参考书推荐的 方法为:如果被积函数是由'反,对,幂,指,三'中任意两类函数 乘积时,按此顺序,谁排在前面,u就选谁,其余的与dx凑微分 结合为dv.显然,这种方法解题思路会清晰很多,但对于学生而
言,存在理解不透,记不牢顺序或不会熟练使用的问题.结合近 几年的教学.本人针对分部积分法的使用,给出一种易记易使用 的方法,即'优先法则'.所谓优先法则,是针对被积函数为两个 雨数乘积的情形.优先选择哪个函数与dx凑微分的法则,目的 是快速将不定积分转化为分部积分公式的结构便于计算.下面 分三种情形说明:
(1)若被积函数中出现'eX,sinx,COSX'中任意,个,则优先选 择该项与dx凑微分.(说明:该法则适用于e,sinax,cosbx的情 形,下同)
例如:对于积分』x2ex,』xex,』x3sinxdx,』xc.s2xdx,分 别优先选择e,e,sinx,cos2x与(b(凑微分,凑成dv,将剩余的 另一个函数看作u.
例1:求不定积分lxcos2xdx.
分析:被积函数中出现了x,cos2x则优先选择cos2x与dx 凑微分
解:』xc.s2xdx=1』xdsin2x=1[xsin2x一』sin2xdx]=1 [xsin2x+—1cos2x]+C
(2)右破凼双甲出现'e,sinx,COSX甲仕葸网/r,,则尢伦优 先选择谁与dx凑微分都可行.但要切记:若连续两次使用分部 积分.则两次优先选择凑微分的函数必须为同一类函数,否则会 出现循环,永远也无法计算出.
例2:求不定积分feXcosxdx.
解法1:
fe~cosxdx=』eMsinx(第一次优先选择三角函数凑微分) =exsinx—fsinxdex=e~sinx一』sinx.eXdx
=exsinx+fexdcosx(第二次同样优先选择三角函数凑微分) =exsinx+edc.sx一』c.sxdeex(sinx+cosx)一fc.sxexdx 因此,fexc0sx1e(sinx+cosx)+c. 解法2:
』exc.sxdx=』c.sxdex(第一次优选指数函数ex凑微分) =exc.sx一
』exdc.sx=excosx+fsinx~exdx =exc.sx+fsinxde(第二次同样优先选指数函数ex凑微分) =eXeosx+eXsinx—feNsinx
=exfsinx+cosx)一fc.sxexdx
因此,』excosx1e(sinxTcosx) (3)若被积函数中没有出现'e,sinx,COSX'中任意一个,则选 择被积函数中可以凑微分的函数优先凑微分.
例如:对于积分』xlnxdx,fx:aretanxdx,』x3arcsinxdx,只能 分别优先冼择幂函数x.x2与x凑微分
参考文献:
[1]同济大学数学系.高等数学(第六版上册)[M].北京:高等教育 出版社.2007.4.P:208—211.
[2】曾庆兵.浅谈分部积分法中u和dv的re-&U].山东教育学院
,2004(4)P:75—76.