陈省身——什么是几何学（上）

本文为陈省身先生在台湾大学的演讲节选。

今天授奖的仪式很隆重，听了许多人的演讲，我非常感动。有机会在此演讲，自己觉得非常荣幸，也非常高兴。我想从现在起，我们就像平常上课一样，不怎么严肃，随便一点。我带了一些材料，非常遗憾的是没法投影。不投影也可以，我没有什么准备。大家希望我讲一点几何学，题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作，但是很抱歉的一点是，当你们听完演讲后，不会得到很简单的答案，因为这是一门广泛而伟大的学问。在最近几千年来，几何学有非常重要的发展，跟许多其它的科学不但有关系、有作用，而且是基本的因素。

讲到几何学，我们第一个想到的是欧几里德。除了基督教的《圣经》之外，欧几里德的《几何原本》在世界出版物中大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译，译者是徐光启与利玛窦。徐光启(1562~1633）是中国了不得的学问家，利玛窦（M.RICCI）是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章，中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词，例如并行线、三角形、圆周等这类名词我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完，差不多只翻译了半本，另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力(A.Wylie）是英国传教士。很高兴的是，李善兰是浙江海宁人。海宁是嘉兴府的一县，我是嘉兴人，所以我们是同乡（掌声）。对了，查济民先生也是海宁人（掌声）。

推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte（1596~1650），中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家，不是专门研究数学的。他用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的，所以他的几何谕文是他的哲学引里面最后的一个附录，附属于他的哲学的。

这个思想当然在几何上是革命性的，因为当把几何的现象用坐标表示出来时，就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点，你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是任何的几何问题都要变成代数问题，有时候变为代数问题后上原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。笛卡儿发现的坐标系，我们大慨在中学念解析几何都学到。有一点是这样的（我的图可惜现在没法投影出来）给定一条直线，直线上有一个原点，其它的点由它的距离X来确定，然后经过x沿一定的方向画一条直线，那么y坐标就是在那条在线从X轴上这个点所经的距离，这就是笛卡儿的坐标，英文叫Cartcsian坐标。它的两条线不一定垂直。不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了，因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的，这是他非常重要的观念，我们现在就叫纤维丛。这些跟y坐标平行的直线都是铁维，是另外的－个空间。原因是这样的：你把它这样改了之后，那条直线就不一定要直线，可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了，有时候反而退步了（笑声）。笛卡儿用了这个坐标，就发现，我们不一定要用Cartesian坐标，可以用其它坐标，比如极坐标。平面上确定一个点，称为原点，过这点画一条射线，称为原轴。这样平面上的点，一个坐标是这点与原点的距离，另外一个是角度，是这点与原点的联机与原轴的相交的角度，这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标，一个是正数或零，另外一个是从零到360度的角度。当然我们都知道，还可以有许多其它的坐标，只要用数就可以确定坐标。因此，后来大家弄多了的话，就对几何作出了另外一个革命性的贡献，就是说，坐标不一定要有意义。只要每级数能定义一个点，我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。这样就把几何数量化了，几何就变成形式化的东西了。这个影响非常之大，当然这个影响也不大容易被接受，比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论，特殊相对论是在1908年，而广义相对论是在1915年，前后差了7年。爱因斯坦说，为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对谕呢？他说因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人，他觉得没有意义的坐标不大容易被接受，所以耽误了他很多年，他才不能不接受，就是因为空间的概念被推广了。

我忘掉了一段。我现在是讲书，请书忘掉了补充一下是无所谓的，讲错了也不要紧（笑声）。同样我回头再讲一点欧几里德。那时的欧几里德的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分，无穷的观念虽然已经有了，不过不怎么普遍。我再说一点，就很可惜的是欧几里德的身世我们知道得很少，只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何原本》大概是当时的一个课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因为亚历山大自己到过亚历山大，因此就建立了当时北非的大城，靠在地中海。但是他远在到亚洲之后，我们知道他很快就死了。之后，他的大将托勒密（PtolelmyySoter）管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问，就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边，是当时全世界伟大的大学，设备非常好，有许多书。很可惜由于宗教的原因，由于众多的原因，现在这个学校被完全毁掉了。当时的基督教就不喜叹这个学校，己经开始被毁了，然后回教人占领了北非之后，就大规地破坏，把图书馆的书都拿出来烧掉。所以现在这个学校完全不存在了。

几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲现在的范围更广了，就是我刚才讲到的坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标，那么怎样描述空间呢？这就显得很困难啦，因为空间到底有什么样的几何性质，这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国教学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是黎曼活看时身体不好，有肺结核病，四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示，但是如何研究空间这就成了大问题。

在这个之前，我刚才又忘了一个，就是基础的数学是欧几里德的书，但是欧几里德的书出了一个毛病。因为欧几里德用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说，三角形三角之和一定等于180度，这是了不得的结果。欧几里德可以用公理几步就把它证明了，是一个结谕。这个比现代的科学简单得多了。我们刚才听了很多话，科学家做科学研究，第一样就是跟政府要钱，跟社会要钱，说你给了我钱，我才能做实验。当然实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。欧几里德说，你给我一张纸，我只要写几下，就证明了这个结果。不但如此，我是搞数学的，我说数学理论还有优点，数学的理论可以预测实验的结果。不用实验，用数学可以得到结论，然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对，也许你的理论就不对了，那当然也有这个毛病。欧几里德的公理是非常明显的，但是他有一个有名的公里叫第五公设出了问题。这个第五公设讲起来比较长，但是简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的诂，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不如其它公理这样明显。所以这个第五公设对当时数学界喜欢思想的人是个大问题。当时最理想的情形是：第五公设可以用其它的公理推得，变成一个所谓的定理。那就简单化了，并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法，就是我要证明这个公理，我先假定这个公理不对，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就证明它是对的了。这就是所谓间接证明法。有人就想用这个方法证明第五公设，但是都失败了。我们现在知道这个第五公设并不一定对，经过一点的并行线可以有无数条，这就是非欧几何的发现。非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个，怎么会有两个空间，或者很多个空间呢？当时这是个很严重的社会问题。不止是社会问题，同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德，他就觉得只能有欧氏几何，不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。非欧几何的发现一个是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一个是Lobachevski，俄国人，在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯，我们从他的种种著作中知道他完全清楚，但他没有把它发表成一个结论，因为发表这样一个结论，是可以遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。等到意大利的几何学家Beltrami，他在欧几里德的三维空间里造了一个曲面，刞回曲面上的几何就是非欧几何，这对于消除大家的怀疑是一很有利的工具。因为上述结果是说，假定有一个三维的欧几里德空间，就可以造出一个非欧几何的空间来，所以在欧几里德的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里德几何，你就得接受非欧几何，因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。

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