2021长宁、闵行25题解法分析(三角形的存在性问题)

2021长宁、闵行的25题是圆背景下的等腰三角形或直角三角形的存在性问题。存在性问题往往出现在第3问的位置，根据其特征进行分类讨论，再利用勾股定理、比例线段等常用的方法进行问题的解决。

2021长宁25题解题背景：

解法分析:本题的第一问中根据D是弧AC的中点，联想到垂径定理，辅助线的添加为联结DO，根据角的倍半关系，设∠COB=∠DBO=α，再用含α的代数式表示∠AOD和∠DOC的大小，利用∠AOD+∠COD+∠COB=180°，求出α的值。

解法分析:本题的第二问要找到OH和CF:CE的数量关系，而图中呈现了一个典型的“燕尾三角形”，因此可以考虑构造A/X型基本图形。由∠COB=∠DBO，可得∠OCH=∠CFE，因此得CE=EF，由此过点E作CH的垂线，构造A型基本图形，再根据同角的三角比相等构造等量关系。

解法分析:本题的第三问是扥要三角形的存在性问题，首先根据题意分类讨论：①OD=OF；②OF=DF；③OD=DF.本题可以利用∠D的三角比求出DF的长度(其中∠D=∠COB，△COH是可解的)。由于OF的长度难以用还x的代数式表示，对于情况①和③根据具体背景进行计算。

2021闵行25题解题背景：

解法分析:本题的第一问中根据M是弦的中点以及PM过圆心，得到PM⊥BE，因此利用△BMP∽△BCD，构造y关于x的函数关系式。

解法分析:本题的第二问中，可得AGCP为平行四边形，得DG=x，根据GD//BC，利用DG-BC-X型基本图形建立数量关系。

解法分析:本题的第三问是直角三角形的存在性，当F在线段CE上时，由PE=PF，得∠PEF =∠PFE，此时△PFE不是直角三角形。因此F只能在EC延长线上，并且只有∠FPC和∠FCP=90°的情况，再根据边、角关系构造数量关系。

链接：圆背景下的三角形存在性问题