做物理学科普两年多了，很多小伙伴跟我反映，物理太难了，而且物理学中用的数学也难，其实那是您还没掌握方法。本文就是想给那些准备好好学习物理的小伙伴们介绍一下高等数学的学习方法，限于篇幅，我只选择写一下如何理解微分。

一、数学是描述物理学的语言

物理离不开测量，以长度测量为例。如果要比较两个人的身高，那很容易，让两个人站在一起就可以了，但如果要比较两个村子中的井哪个深要怎么办呢？最简单的是让每个村子都截取一段跟井一样深的绳子，然后再比较绳子的长短。可是要比较2000个村子的2000口井呢？

物理上的操作是这样，每个村子都分给一根相同长度的短木棍，然后选择跟井深一样长度的绳子，看看能包含多少个短木棍的长度，最后比较这个包含数就可以了。（不是整数的话，可以再分，利用分数单位。）

上面这个操作用数学语言表达就是一个除法，那根相同长度的短棒的长度就是单位长度。直尺作为一个测量长度的工具，其实就是一个已经求出被测长度与单位长度除数的读数表。所有的物理测量的数学原理都与长度测量是一样的，都是除法。

基本物理知识（日常经验）在处理中小学数学问题的时候可以作为非常好的辅助理解工具，但是到了大学的时候，特别是很多专业都不学物理了，数学一下子变得陌生了，很多人都栽在高数这个科目上，其实高数也是为了解决物理问题而生的。

二、物理学发展促进了微积分诞生

人眼的观测能力很有限，随着科学的发展，物理学家们发明了很多工具来拓展人眼的观测能力，望远镜和显微镜就是最早发明的工具，当然了除了光学显微镜也有其它物理量的显微放大工具。请看下面的例子——伽利略斜面实验。

伽利略是否真的做过比莎斜塔实验不得而知，不过他在自己的著作《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于两门新科学的对话》中有关于落体实验的记载。伽利略还做了著名的斜面实验，过程如下：

在斜面上以一定的间隔放置小铃铛，当球从静止状态出发，经过时碰到铃铛就会发出声音，调整这些铃铛的位置，使得铃铛发出的声音的时间间隔相等，我们会发现每个时间段内球所经过的距离按1,3,5……这样的比例递增。

调整斜面的角度，甚至是接近90度的情况下做这个实验，即使斜面是与地面垂直的，即自由落体的情况，物体的运动规律也是与斜面相同的，下落的距离与时间的平方成正比。很明显，伽利略是知道速度、加速度这样的物理概念的，他甚至还研究了抛体运动的规律。

伽利略

在伽利略那个年代，缺乏更精确的实验方法，无法观测到更短时间间隔内的小球移动间距。今天，在我们高中物理实验中，用于碰撞的铃铛被电磁铁控制的打点计时器所代替，到了大学，这个实验被进一步改进：光滑斜面，被气垫导轨代替；打点计时器被光电开关所代替；

在现代物理学家们的实验室里，已经发明出来能够每秒拍摄几十万帧的高速相机，用于拍摄微观粒子在瞬间的移动。使得我们能够“看”到更短时间间隔内的位移变化。这些更先进的仪器，就是测量物理量的“显微镜”。

新的测量需求，推动了数学描述方法的进步。伽利略使用代数来描述斜面上物体的运动，

，从这个数学表达式能看出，代数已经不能满足对更精细的物体运动过程的描述，而微积分就是为了响应这个需求而诞生。

在伽利略的实验中，由于技术手段的限制，物理学家无法知道在某个具体的时间点的微小范围内物体的运动，也没有一个数学方法去描述这种极小范围内的变化，现在让我们一起来看一下，微分是如何完成这个过程的。

为了便于理解，我们重写一下伽利略的斜面运动方程

，令

，则方程变为

，写成一般形式

。这下简单了，这不就是一个最简单的二次方程吗，它在平面直角坐标系中就是一个开口向上的抛物线。

现在数学家来放大10倍观察当x=1时候，向右移动0.1的情形，此时对应于x的增量0.1，y的增量为(1+0.1)^2-1^2=1^2+2X0.1+(0.1)^2-1^2=2X0.1+（0.1)^2=0.21。其斜率为0.21/0.1=2.1；

如果放大100倍的情况，也就是当x从1增加0.01时，y的增量为,0.0201，此时其斜率为0.0201/0.01=2.01

重复上面的过程，当我们选取更大的放大倍数，1000倍、10000倍……的时候，其斜率就为2.001、2.0001,……逐渐向2逼近。这意味着，如果用更大的显微镜去看这段曲线的话（更短的曲线），则这段抛物线的这个部分与斜率为2的直线相近。

我们可以简单地说，任何一条非常光滑的曲线都是由无限多个无限小的直线构成（现在数学家们已经找到了不符合这个规律的曲线）。3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法，就与这种思路类似。

把上面这个思路写成一般形式，即

。如果极限存在，就叫做f(x)在x1点的导数。

改变一下这个表达式的符号，将x的变化量h写为Δx（熟悉物理的小伙伴有没有很熟悉啊），Δx表示x的微小变化量，f(x)的变化量写为Δf(x)，则上面的式子可以写为

。在高数中，这个式子写成

。

这个导数就是我给大家介绍的微分，对于一个函数来说，“可导”、“可微”的意思是相同的。这种求某个函数导数的方法就叫做微分法。

前面我提过，伽利略在研究光滑斜面上的滑动物体运动规律的时候了解了加速度的概念。在斜面上的物体的运动速度在每个瞬间都以一个固定的值在递增，这个递增值代表着速度增加的大小，也叫做“加速度”。利用微分或者说求速度对于时间的导数，就能得到这个确定的加速度。

本文举的斜面滑动物体的运动其速度对时间的微分是个常数，这是一种特殊情况，更多的时候，速度对时间的微分也是时间的函数，这个时候就需要我们闭上眼睛，在脑海里展开想像力，这个物体的运动将在时空中划过一个曲线，微分向我们描绘了每一个运动变化的瞬间。