初中数学竞赛：二次函数（交点、增减性、整数坐标）

已知抛物线y=x²+mx+n上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方，

（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点；

（2）设已知抛物线与x轴的两个交点为A（x1,0），B（x2,0），其中x1＜x2，求证：x1＜x0＜x2；

（3）当点M为（1，-2）时，求（2）中的整数x1、x2；

这道题没有图像，貌似也用不上图像，所以直接开始吧。

（1）根据抛物线的解析式可知，此抛物线开口向上，

同时点M在x轴下方，

说明肯定有两个点在x轴上，

所以······肯定不能这么写，

所以将M的横坐标坐标代入可得一个小于0的不等式，

x0²+mx0+n＜0，

（x0+0.5m）²+n-0.25m²＜0，

因此n-0.25m²＜0是必定的，

也就是4n-m²＜0，

m²＞4n，

那么△=m²-4n＞0，

所以结论成立；

（2）这一问就是明显的递增递减问题了，而且比较简单，

A点在B的左边，而且两个点刚好是抛物线与x轴的交点，

那么抛物线上在x轴下方的点的横坐标肯定就是处于这两个点的横坐标之间，

所以x0肯定也是在这个范围内，

所以·······肯定也不能这么写，

那么

①假设M在对称轴左侧，那么

对称轴左侧是递减，而y1=0，y0＜0，y1＞y0，

所以x1＜x0，而x2在对称轴右侧，

所以结论成立；

②若M在对称轴右侧，那么

x1在对称轴左侧，所以必有x1＜x0，

而对称轴右侧递增，y0＜0，y2＞0，

所以y0＜y2，

所以x0＜x2，

所结论成立；

（3）M（1，-2），

同时二次函数可以写成y=（x-x1）（x-x2）的形式，

将M代入，

-2=（1-x1）（1-x2），

即（x1-1）（x2-1）=-2，

谁×谁=-2？而且都是整数，

所以只有-1和2，或-2与1，

若x1-1=-1，x2-1=2，则x1=0，x2=3；

若x1-1=-2，x2-1=1，则x1=-1，x2=2；