2021亚洲太平洋地区数学奥林匹克（APMO）-中文翻译

亚太地区数学奥林匹克

程国根 译

1.已知为大于的实数．求证：恰存在个或个正实数满足．其中表示不超过实数的最大整数．

2.对于多项式和正整数，记为使得能被整除的正整数组（）的个数．求所有的整系数多项式，使得对于任意正整数，都有．

3.凸四边形内接于圆，点为对角线，的交点．点为于边，，均相切的圆的圆心，点为的弧（不包含点和点）的中点．证明：的内的旁心在直线上．
注：的内的旁心指与线段，射线，射线均相切的圆的圆心，而非内切圆圆心．

4.有一个的正方形网格，开始时，一只老鼠位于左下方的方格中，且面朝正上方．选定除左下方方格以外的若干个方格，在其中各放置一块奶酪．接着老鼠重复以下动作，直到爬出网格外：一直沿直线前进到放有奶酪的方格中，吃掉奶酪后从前进方向开始右转．如果老鼠在爬出网格时，恰好吃完了所有奶酪，则称这是一种好的放法．证明：

(1) 对于块奶酪，没有好的放法；
(2) 对于块及以上奶酪，有好的放法．

5.求所有定义域和值域均为整数的函数，使得：对于任意的整数，，均为完全平方数．