2021Tuymaada国际数学竞赛 高级组 中文翻译

Tuymaada 国际数学竞赛是在俄罗斯萨卡举办的一项针对18 岁以下中学生的

区域性竞赛活动. 该竞赛每年七月举行, 分初级组和高级组两个组别, 每个组别

比赛两天, 每天四道题.以下是2021年Tuymaada国际数学竞赛高级组的试题.

第一天

1.多项式 和满足， 对任意实数,均有

求证: 对任意实数,均有

2.梯形中, 为底边的中点. 在线段上有一点, 满足  . 求证: 为等腰三角形.

3.给定正实数， 设. 证明不等式：

4.有一个 的网格表, 有个单元格组成, 其中为正整数. 我们称一条从网格表左下角的顶点出发, 沿各单元格的边到达右上角的顶点的,长度为的路径,为"单调路径". 对任意, 设 表示, 使得路径下方的单元格个数除以的余数恰等于的"单调路径"的集合. 求证: 所有 的元素个数相同.

第二天

5.已知三个角满足, 他们的正弦成等差数列, 他们的余弦成等比数列. 求证: 这三个角相等.

6.对给定, 有一个 的网格表. 求的最大值, 使得任意标记其中个单元格后, 可以通过若干行列变换(行变换即交换其中两行的位置, 列交换即交换其中两列的位置), 将所有被标记的单元格移至主对角线的一侧, 或主对角线上.

7.给定锐角, 其中, 垂心为, 过的高与的外角平分线分别交于点. 的外角平分线与线段分别交于点. 若, 求证.

8.二次三项式序列中,前两个三项式没有公共根. 从第三个式子开始, 每个式子均为它前面两个三项式的和. 是否存在这样的, 使得其中每个式子都有整数根?