卡尔纳普的数学哲学

来源：《自然辩证法通讯》1995年第5期

作者：林夏水（中国社会科学院哲学所）

科学哲学

R.卡尔纳普(1891～1970)作为维也纳学派的一个重要成员，已为哲学界所知晓；但他作为一个数学哲学家，曾经代表逻辑主义，与形式主义、直觉主义进行过论战，并以其数学哲学观点影响逻辑经验主义学派的形成，却鲜为人知。本文将探讨卡尔纳普的数学哲学观点，从一个侧面反映这种观点对逻辑经验主义的影响。

一、思想渊源

卡尔纳普在中学时代就喜欢数学。他在大学学习期间，先攻读哲学和数学，后来物理学和数学成为主要的专业。他非常喜欢数学是因为，“哲学的诸多流派都处在无休止的争论中。而与此相反，在数学的领域中，每一个结论都可以得到精确的证明，因此不会产生什么分歧。”([1],p.3)对数学的兴趣，使他有了接受数学哲学的基础。他在耶拿大学读书时，正好弗雷格在那里任特邀数学教授，使他有机会听到弗雷格关于符号逻辑和数学基础的讲座，接受数学哲学的启蒙教育。1919年前后，他研读了怀特海和罗素合著的《数学原理》，其中关于关系理论发展的描述给他以深刻印象，并且从中看到他们是如何实施他们的逻辑主义纲领的。所以，数学的逻辑基础成为他的主要研究领域之一。

弗雷格是逻辑主义的始祖，他的思想经过罗素的发展成为数学基础三大学派之一。卡尔纳普通过直接听取弗雷格的讲座和阅读弗雷格和罗素的著作，而接受他们的逻辑主义观点。他回忆说：“我曾从弗雷格那里得知，我们可以在逻辑概念的基础上给一切数学概念下定义，并且还可以从逻辑的原理中推演出数学定理。因此，从真理只是依据于逻辑这种一般意义上说，数学真理是分析的。”([1],p.72)此外，他还学到了分析概念和语言词句以及区分语句及其表达的意思的思想方法。他回忆说：“从弗雷格那里，我学会了细致而清楚地分析概念和语言词句，区分语句本身和由它所表达的意思。弗雷格的分析使我坚信，数学的知识从一般的意义上说是分析的，它与逻辑的知识基本上具有相同的性质。……此外，以下这些基本上是来自弗雷格的观点，在我看来也是无比重要的：在整个知识的体系中，逻辑与数学的任务就在于提供概念、陈述和推理的形式。这些形式可以适用于任何一个领域和学科，因而也适用于非逻辑的知识。”([1],p.17)

如果说弗雷格在具体的数学、逻辑与语义学方面影响了卡尔纳普，那么罗素则在一般的哲学思维方法方面影响着他。他通过学习怀特海与罗素合著的《数学原理》，更加强了他的逻辑主义观点，同时也看到他们是如何在该书中实施其逻辑主义纲领的。他从弗雷格和罗素那里不仅继承了逻辑主义观点，而且学会运用逻辑分析法。

此外，卡尔纳普还从直觉主义和形式主义，以及维特根斯坦等人那里学到一些加强逻辑主义观点的思想。例如，他接受形式主义的假设—演绎方法，吸收直觉主义的构造思想。特别是，他接受维特根斯坦的逻辑真理思想。他说：“对我个人来说，维特根斯坦可能是除罗素和弗雷格以外对我的哲学思考影响最大的哲学家。我从他的著作中所获得的最重要的观点是：逻辑陈述的真理性仅仅依据其逻辑的结构和词语本身的意义。逻辑陈述在所有可以想象的情况下都是真实的，因此，它的真理性与世界上的偶然事实无关。而在另一方面，由此可以得出这样的结论：这些逻辑的陈述没有论及世界上任何事情，因而没有什么实际的内容。”([1],p.38)正是由于卡尔纳普接受其他学派的一些“合理”思想，加强了他的逻辑主义观点，使他成为一个逻辑主义的捍卫者。

二、数学知识是分析的，而不是先天综合判断

卡尔纳普认为数学与逻辑具有相同的性质——分析性，而且全部数学可以从逻辑推导出来。当逻辑主义观点为后来的数学基础研究所否定时他仍然为之辨护，表明他继续站在逻辑主义的立场上。这有其更深刻的思想根源——对康德先天综合判断的批判。

(1)逻辑主义的数学观

在数学基础诸学派中，以罗素为代表的逻辑主义的基本命题是：数学可以还原为逻辑学，因此，数学只不过是逻辑学的一部分。卡尔纳普接受了这一逻辑主义纲领。他认为：数学知识从一般的意义上说是分析的，它与逻辑的知识基本上具有相同的性质。“一切有效的数学陈述，仅就它们在一切可能的场合下都能成立这种特殊意义而言，它们都是分析的，因而也不具有任何事实内容。”([1],p.73)不过，卡尔纳普在这里所说的数学不包括几何学。因为在他看来，几何学可以分为两部分：数学的几何学和物理的几何学。“前者被看作是数学的一部分或关系逻辑的一部分，而物理的几何学则属于物理学的一部分。……物理的几何学具有经验的性质。”([1],p.77-78)正是由于卡尔纳普接受了从弗雷格到罗素的逻辑主义观点，使他有资格代表逻辑主义出席数学基础专题讨论会，与形式主义、直觉主义进行论战。

1930年9月，在哥尼斯堡召开物理学家和数学家大会期间，卡尔纳普与莱欣巴赫共同组织一次《数学基础专题讨论会》。这是数学基础学派第一次相聚并公开宣传各自的纲领的会议。会上，冯·诺伊曼代表形式主义作题为《形式主义的数学基础》、A.海丁代表直觉主义作题为《直觉主义的数学基础》、R.卡尔纳普代表逻辑主义作题为《逻辑主义的数学基础》的报告。

卡尔纳普的报告分四部分，前两部分阐述逻辑主义的论题：“数学可以还原为逻辑学”。他把这个论题分解为两个命题：“1.数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来；2.数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来”。然后就如何进行推导问题作了具体论述。后两部分主要说明逻辑主义从逻辑推导出数学存在的一些困难。这些困难主要是罗素引入的可化归性公理和两个非逻辑公理（无穷公理和选择公理）。关于可化归性公理问题，卡尔纳普认为，由F.P.拉姆齐的研究结果得知，罗素的分支类型论是没有必要的，只需要简单类型论就够了，因此可化归性公理可以省略。([7],p.31-42)至于其他两公理，卡尔纳普也承认这确实是逻辑主义所面临的困难。这种困难说明逻辑主义并没有真正从逻辑推导出数学，只是把数学归结为集合论。这是数学界和逻辑学界公认的。例如，1960年，A.海丁在斯坦福大学举行的《逻辑学、方法论和科学哲学》国际学术会议上作题为《三十年以后》的报告，对1930-1960数学基础研究三十年所作的总结性发言中说：三十年前数学基础学派中哪一派都认为自己的“观点是唯一正确的，……并且深信他的观点在不远的将来的胜利是无疑的。”和三十年前的情况相比，现在“没有一个研究方向再自命代表唯一真正的数学。”[8]著名逻辑学家A.莫斯托夫斯基在1964年对数学基础研究三十年所作的总结报告中更直接地说：“弗雷格和罗素的逻辑主义试图把数学归纳为逻辑。看起来这倒是个卓越的方案，但一付诸实行，却发现根本就没有强得足以囊括全部数学的逻辑。”([9],p.2)但是，后来卡尔纳普在1963年出版的《思想自述》一书中又说明如何把这两个非逻辑公理解释成分析公理。他说：“后来，我逐渐认识到，如果我们接受了与较窄的构造主义概念相对应的古典数学中所使用的类概念，那么，选择公理就成为分析的公理。不仅如此，我还给无穷公理找到了几种可能的解释，它们与罗素的解释不同，并且使这一公理也成为分析的公理。”([1],p.74)这表明卡尔纳普直至晚年仍然坚持逻辑主义观点。

(2)批判康德的先天综合判断论

卡尔纳普其所以直到晚年还坚持逻辑主义数学观，有其深刻的思想根源。这就是他对康德的“数学是先天综合判断”的观点的批判。

康德在批判唯理论与经验论在认识论上的片面性时，力图把两派的合理方面结合起来。一方面把命题区分为：分析命题与综合命题。另一方面又根据知识的来源划分为：先天的与后天的。提出数学和自然科学是先天综合判断的观点：它们的谓项不是从主项分析出来的，但又是必然地与主项联结着的判断；它们既增加新的内容又具有普遍必然性。卡尔纳普根据非欧几何的出现和希尔伯特《几何基础》一书的出版，说明康德关于数学性质的观点已经过时了。他认为：非欧几何的产生使几何学分为数学几何学与物理几何学。所以“今天，容易看出康德错误的根源，就是没有认识到，有两种本质上不同的几何——一种是数学几何，另一种是物理几何。”([3],p.177)因为“数学几何是纯数学。用康德的话说，它真的既是分析的而又是先天的。但不可能说它是综合的，它不过是建立在一定的公理基础上的演绎系统，而这些公理是无须借助于任何现存世界来加以解释的。”([3],p.177)“另一方面，物理几何与纯几何在这个世界中的运用有关。”欧几里得的术语具有普通的含义。比如纯几何的点，它是不能观察到的抽象的点，但它又可以表现物理空间中的一个现实的位置。所以点、线、面、体“这些词涉及我们居住的物理空间的现实结构，并且也是纯几何学或数学几何的语言的一部分；这就是19世纪关于几何学的混乱的根源所在。因为同样的词被科学家运用，也被数学家运用，假定二者在同一种几何中被运用，那就是错误的。”([3],p.178)希尔伯特关于几何基础的出色工作，使这两种几何的区别变得更清楚了。在他的几何系统中，点、线、面可以用来表示满足公理中的关系的任何三种实体，所以它们的解释是自由的、无限的，这与具体应用中的特定意义不同。因此，“当我们说，‘几何学是必定先天的，关于它的定理的真理性是无疑的’的时候，我们讲的是数学几何。但假定我们补充道：‘它也告诉我们有关这个世界的某些情况。借助于它的帮助，我们能预见现实几何结构的测量结果。’现在我们已经漫不经心地滑到几何学的另一种意思。这时我们讲的是物理几何，讲的是现实空间的结构。数学几何是先天的，物理几何是综合的，没有什么几何既是先天的又是综合的。”([3],p.179)

三、数学对象的实在性只具有相对的意义

数学基础学派在讨论数学的本体论时，主要集中讨论实无穷的存在性（或实在性）问题。卡尔纳普则应用语义学观点在更一般的意义上阐述了抽象数学对象的存在性问题。他认为，数学对象的存在性只是相对于所谈论的数学系统而言，才有意义；那种先于数学系统的存在性问题，因为不具有认识内容，所以是没有意义的，是假的问题。其实，数学对象的存在性问题可以归结为对所谈论的数系统的接受和选择问题。

卡尔纳普早在1935年出版的《哲学和逻辑句法》一书中就应用可证实性原理区别实在性的两个概念：具有经验内容的实在性与不具有经验内容的实在性。他肯定具有经验内容论题的实在性，而否定不具有经验内容论题的实在性。例如，心灵的实在性、所予的实在性、共相的实在性、性质的实在性、关系的实在性、数的实在性等等。……所有这些哲学论题都是没有经验内容，无法证实的，没有理论意义的，因而是假的论题。([2],p.8)

1950年他在“经验论、语意学和本体论”一文（此文作为附录收入1956年出版的《意义和必然性》一书）中，应用语义学的观点对存在性或实在性这个本体论问题作了更详尽的阐述。他说：“经验论者对于象属性、类、关系、数、命题等等任何一种抽象对象，一般总是表示怀疑的。”([6],p.82)所以，他们尽可能地试图避免提及抽象对象。但是，在一定的科学语境中，要避免提到它们好象简直是不可能的。因此卡尔纳普区分了两种存在或实在性。他说，当有人谈到一种新的对象时，他就必须引入一种新的说话方式的系统，这些说话方式是受新规则支配的。这个过程叫做给正在谈论的新对象构造一个语言构架。有了语言构架这个概念后，就可以区分两种存在：“第一，这个新种类的某些对象在语言构架内部的存在问题，我们称之为内部问题。第二，关于这些对象的系统当作一个整体的存在或实在性问题，叫做外部问题。”([6],p.83)“内部问题和它的可能的答案是借助于新的表示式来明确表述的。答案可以或用纯逻辑的方法或用经验的方法找到，随这个构架是一个逻辑的还是一个事实的构架而定。”([6],p.84)例如，“有一张白纸在我的书桌上吗？”这个问题将由经验的研究来解答。所以，“内部问题中出现的实在性概念是一个经验的、科学的、非形而上学的概念。”([6],p.84)

但是，关于事物世界本身的实在性这个外部问题，则是一个相反的问题。它是由哲学家提出来的，争论了几个世纪未曾解决过。它也是不可能解决的，因为提法不对。比如，“提出事物世界本身的实在性的那些人也许心里想的不是象他们的表达式似乎提示的那样是一个理论问题，而宁可说是一个实际的问题，一个关于我们的语言结构的实际问题。”([6],p.84-85)他们把是否接受正在谈论的语言结构的实际问题变成理论问题。就象“如果有人决定接受事物语言，说他已经接受了事物世界，这是无可非议的。但不可以把这句话解释为好象表示他接受了关于事物世界的实在性的信念；并没有这样的信念或断言或假设，因为这不是一个理论问题。接受事物世界的意思不过是接受一定的语言形式，换句话说，接受形成陈述的规则和检验、接受或不接受这些陈述的规则。”([6],p.85)

卡尔纳普把上述关于实在性问题的一些思想应用于数学中。他说：在数的系统中也有“内部问题”。“例如，‘有一个大于一百的素数吗？’但是，在这里不是用以观察为基础的经验研究，而是用以新的表示式的规则为基础的逻辑分析来寻求答案。所以这里答案是分析的，即逻辑地真的。([6],p.86)可是，为什么有些哲学家会提出关于数的存在或实在性的哲学性问题呢？因为他们把存在的相对性绝对化了。例如，在数的系统中，“数是存在的”，或者说，“有一个n，使得n是一个数”。这个陈述可以由数的系统中“五是一个数”这一分析陈述得出。所以“数是存在的”这句话，只表示这个系统是非空的。它是内部问题。可是，有些哲学家却说，它不是内部问题，而是外部问题，即“先于这个新构架（即新的数系统——引注）的接受的问题”，以此来说明，数具有某种实在性，或“独立对象”地位的形而上学特性的问题。不幸的是，这些哲学家迄今“未曾做到给予这个外部问题及其可能的答案以任何的认识内容。……我们有理由怀疑他们的问题是一个伪问题，就是说，一个以理论问题的形式伪装起来而事实上却是非理论性的问题；在目前这个例子，它是一个是否要把那构成数的构架的新语言形式吸收到语言中来的实际问题。”([6],p.87)卡尔纳普就这样把数学对象的本体论问题变成一个是否接受所谈论的语言构架问题，从而否定一般所谈论的数学对象的存在性问题。

四、对逻辑经验主义学派的影响

卡尔纳普的数学哲学对维也纳学派的影响主要表现在两个方面：关于数学性质的观点本身和应用数学-逻辑分析法于非逻辑的知识领域。

(1)数学观的影响

卡尔纳普早在参加维也纳小组（1926年）以前就形成了关于数学的逻辑主义观点。由于他的数学观的系统，因而在维也纳学派关于数学性质观点的形成过程中起起到该学派其他成员（逻辑学家魏斯曼和数学家H.汉森(Hahn)、K.盂格尔(Menger)、K.哥德尔(Godel)等人）所起不到的作用，而这种观点的确立对该学派来说具有重要意义。这正如他所说的：“这种观点的重要之处就在于这样一个事实，即我们第一次有可能把经验主义的基本原则与一种对逻辑和数学的性质令人满意的结合到一起。……这是经验主义发展中的重要进步。”因为在此之前，哲学家们或者认为数学的知识基于纯直观或纯理性（即非经验主义的观点）；或者象J.S.密尔(Mill)等人认为逻辑和数学的定理与观察事件的知识一样，具有经验的性质。([1],p.73)正是他们有了关于数学性质的基本看法，才使他们有可能通过逻辑的分析法发展出既区别于休谟和密尔的经验论，又不同于孔德和马赫的实证主义的逻辑实证主义。

(2)应用逻辑分析法于非逻辑的知识领域

卡尔纳普为了把逻辑分析法应用于非逻辑的知识领域，首先应用数学中的形式化方法，把语言系统变成形式系统，然后分析系统中的句子类型，说明哲学研究的任务就是逻辑分析，进一步为逻辑实证主义奠定基础。

他说：“和希尔伯特在他的元数学中应用于数学系统的相同的形式方法，也由我们在我们的逻辑句法应用于科学之整个语言系统，或它的任何特殊部分，或任何其他语言系统。”([2],p.21)怎样应用希尔伯特的形式化方法呢？他首先舍弃语词的涵义，然后仿效数学形式化方法，引入形成规则（规定系统的句子如何能由各种不同符号构造出来）、变形规则（规定如何将给定的句子变形为其他的句子）、两个原始名词（句子和直接后承）和由原始名词定义的若干句法名词，这样就构成一个语言的形式系统（卡尔纳普有时叫做语言的“逻辑句法理论”）

有了语言的形式系统以后，逻辑句法的任务就是借助句法名词来陈述一些定义，并分析给定的句子、证明和理论等等。这样一种逻辑分析的结果就可以表述为如下的句法句子：“包含在某一理论中的一个这种这样的句子是综合的，而另一个句子仅仅是分析的”。([2],p.33)可是，还有另外一些句子。它们似乎属于完全不同种类。比如说，似乎不仅涉及语言表达的形式，而且也涉及完全另外一种样子的对象（诸如空间和时间的结构、事物与其性质的关系、数和数值函项的特性等等）。因此，通过这种句法分析使我们发现三类不同的句子。第一类叫做句法句子，它“涉及语言表达的形式”；第二类叫做真对象句子，它“涉及的不是语言的表达，而是语言以外的对象”；第三类叫做假对象句子，它是“介乎二者之间的一种句子，这种句子可以说是两栖的，在它们的形式方面象对象句子，但在它们的内容方面又象句法句子”。([2],p.34)也就是说，它表面上象对象句子，但实际上却是句法句子。例如，“玫瑰花是红的”，这个句子是真对象句子。“玫瑰花这个词是一个事物的词”，这个句子是句法句子。“玫瑰花是一个事物”，这个句子是假对象句子。因为在假的对象句子里的说话方式中出现指称对象或物质的词，而在句法句子中所用的词只涉及形式。所以，假对象句子也叫做说话的实质方式的句子，句法句子也叫做说话的形式方式的句子。

卡尔纳普认为，“这种实质说话方式的使用经常导致混乱和无谓的哲学争论”。第一种情况是，由于说话的实质方式的诱惑而提出一些假的问题。例如，在数学中使用实质方式时，由于它谈到的是数而不是数的表达式，这就诱导人们提出数的实在性的哲学问题（如，数是实在的对象还是观念的对象？等）。第二种情况是，由于使用了说话的实质方式，同时又忽视语言系统的相对性而引起的哲学争论。例如，在怀特海和罗素的系统中，数是作为类的类来处理的，而在皮业诺和希尔伯特的系统中，数是作为原始对象来处理的。他们双方对数究竟是什么进行无休止的争论。一方说：“数是类的类”。另一方说：“数是原始的对象，独立的元素”。怎么解决由于使用说话的实质方式所引起的混乱和无谓的哲学争论呢？

他说：“这种混乱和争论是能够通过把这些争论的论题翻译成为形式的方式来解决的。”([2],p.38-39)怎样翻译呢？他说：“一般地说，每一个具有‘……是一个事物’这种形式的句子都属于实质方式”。其中与“事物”这个词起着相同作用的还有其他一些词。比如，性质、关系、数、事件等等。所以为了避免危险的实质方式，就必须回避“事物”这个词，而用“平行的句法名词‘事物指称’来代替”。与此相类似，可以用“数字指称”代替“数”，用“性质指称”代替“性质”，用“关系指称”代替“关系”等等。通过这种替代就可以把实质方式翻译成形式方式，从而避免出现哲学上的假问题。因此，他提醒人们，“在哲学讨论中，如果一方不能或不愿意提出他的论题的形式方式的译文，或者如果他不陈述他的论题引据哪种语言系统，那么另一方最好是拒绝和他辨论，因为他的对手的论题是不完备的，而且这种讨论除了导致空洞的争吵之外，别无其他。”([2],p.46)

卡尔纳普的上述分析向我们表明，既然真对象句子涉及语言以外的对象，是综合的，属于自然科学研究的对象；句法句子只涉及语言的表达形式；而假的对象句子可以翻译成句法句子，因此，表达逻辑分析结果的句子都是句法句子，也就是说，哲学就是句法方法的应用，或者说，哲学的任务就是逻辑分析。这样，他就把经验与逻辑更紧密地结合起来，为逻辑经验主义的建立作出了特有的贡献。

参考文献：

[1] R.卡尔纳普：《卡尔纳普思想自述》(1963)，上海译文出版社，1985。

[2] R.卡尔纳普：《哲学和逻辑句法》(1935)，上海人民出版社，1962。

[3] R.卡尔纳普：《科学哲学导论》(1966)，中山大学出版社，1987。

[4] R.卡尔纳普等原著：《科学哲学和科学方法论》，华夏出版社，1990。

[5] 洪谦主编：《现代西方哲学论著选辑》（上册），商务印书馆，1993。

[6] 洪谦主编：《逻辑经验主义》（上卷），商务印书馆，1982。

[7] P.Benacerraf andH.Putnam ed.Philosophyof Mathemalics:Selected Reading,Cambridge University Prce,1964,first edition.

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