圆锥曲线专题解析4：构造齐次式求解离心率(附参考答案）
圆锥曲线专题解析4:构造齐次式求解离心率
Ø方法导读
求椭圆或双曲线的离心率的值一直是高考中的热点,其所考题型涉及知识点较多,处理的思路和方法一般也比较灵活,因此不少同学觉得比较困难.其实,有关圆锥曲线的离心率求解问题并非杂乱无章、毫无规律,而是有章可循的,本文将就构造齐次式求解离心率的方法和技巧加以归纳总结.
Ø高考真题
【2019·全国Ⅰ卷理·16】已知双曲线
的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与
的两条渐近线分别交于
,
两点.若
,
,则
的离心率为________.
Ø解题策略
要计算双曲线的离心率,首先画出示意图,得到
的大概位置,然后根据
,
,推出
是
中点,且
,接下来怎么利用这些条件求解离心率是每个学生头痛的问题.因为题目中没有具体的值,所以
的值应该是不具体的,这时候我们就要想到构造
的齐次式,利用比例关系来求解离心率.因为离心率是个比值,可以不用
的具体值,知道他们的比例关系即可.怎么通过条件得到齐次式,中点和垂直关系怎么用,这是解决问题的关键.当我们无从下手的时候,咋办,就大胆的尝试,设出
或
的坐标,根据中点关系就可以得到另外一个点的坐标,然后由点在渐近线上和垂直关系建立两个等式,应该就能消去假设的未知数得到
或其中两个的关系式,然后求解.这其实也就是构造齐次式的思路,利用条件消去假设的参数得到
的比例关系或等式,然后就可以得到离心率.
Ø解题过程
解析:不妨设点
,故
,
,由
可得
,解得
,故
,又
,故
,代入直线
可得
,解得
,故离心率为
.
Ø解题分析
上述解法中根据点
的位置,设出
的坐标为
,然后通过垂直关系可得到
,从而解得
,这样就消去了假设的未知数,再根据
是
中点,得到
的坐标,结合
在另一条渐近线上,代入直线方程得到一个等式关系,化简有
,然后就可以解出离心率了.构造齐次式一般用在题目中没给出一些具体的值的条件,
不能具体算出的场合,这个时候可以利用题目给出的条件化简得到
的比例关系求解离心率.条件怎么用,这个要根据具体的题目具体分析,原则上就是通过条件消去其它的未知数,化简到最后式子中只含
或其中两个的齐次式,然后求解即可.
Ø拓展推广
1.方程思想:齐次方程、不等式
(1)若给定椭圆或双曲线的方程,则根据方程确定
,
,进而求出
,
的值,然后利用公式
直接求解;
(2)若椭圆或双曲线方程未知,则根据条件及几何图形建立关于
,
,
的齐次等式(或不等式),然后化为关于
,
的齐次方程(或不等式),进而得到关于离心率
的方程(或不等式)进行求解.
2.离心率相关
椭圆的离心率为
,越大越扁;
双曲线的离心率为
,越大开口越大;
抛物线的离心率为
.
3.相关公式
3.1椭圆中
,双曲线中
;
3.2焦半径公式:
分别为椭圆或双曲线的左右焦点,
为曲线上任意一点,则
椭圆:
,
.
双曲线:
,
.
(双曲线焦半径符号口诀:绝对值内看焦点,左加右减,去绝对值看分支,左负右正)
4.焦点三角形:
设
分别为椭圆或双曲线的左右焦点,
为曲线上任意一点,
,
,
,则
.
双曲线中的结论为:
.
变式训练1
设椭圆
的右焦点为
,右顶点为
,点
,
是椭圆
上关于原点对称的两点(
,
均不在
轴上),若直线
与
的交点平分线段
,求
的离心率.
变式训练2
已知
,
分别为椭圆
的左、右焦点,
为椭圆上一点,
为坐标原点,且
,
,求该椭圆的离心率.
变式训练3
设双曲线
的半焦距为
,直线
过
,
两点,已知原点到直线
的距离为
,求双曲线的离心率.
变式训练4
已知椭圆方程为
,
为椭圆的左顶点,
是右焦点,
是短轴的一个顶点,
,求椭圆的离心率.
变式训练5
设双曲线
的右焦点为
,过点
作与
轴垂直的直线
交两渐近线于
,
两点,且与双曲线在第一象限的交点为
,设
为坐标原点,若
,
,求该双曲线的离心率.
答案
变式训练1
见解析
设
的中点为
,
依题意得点
,
根据中点坐标公式可得
,
∵点
,
关于原点对称,
∴
,
∵
,其中
.
由
,
,
三点共线得
,
∴
,
化简得
,
∴椭圆
的离心率为
.
变式训练2
见解析
∵
位于
,即
,
又
,
所以
,
又
,且
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,即
.
变式训练3
见解析
由已知,设直线
的方程为
,
整理得
,
由点到直线的距离公式,得
,
又
,
∴
,
两边平方,
得
,
两边同时除以
,
整理得
,
即
,
解得
或
,
又
,
∴
,
∴
,
∴
,
故双曲线的离心率为
.
变式训练4
见解析
由题意知
,
,
,
,
∵
,
∴
,
即
,
整理得
,
两边同时除以
,
得
,
解得
,
(舍去),
∴椭圆的离心率为
.
变式训练5
见解析
∵双曲线的渐近线为
,焦点
,
∴
,
,
,
∵
,
∴
,
∴
,
,
解得
,
,
又由
,
得
,
解得
,
∴
,即双曲线的离心率为
.