第13招：斗转星移-极值点偏移

第13招：斗转星移 - 极值点偏移

对于函数

在区间

内只有一个极值点

,方程

的解为

,且

.若

,则称函数

在区间

上极值点

偏移.

(1)若

,则称函数

在区间

上极值点

左偏,简称

左偏.

(2)若

,则称函数

在区间

上极值点

右偏,简称

右偏.

极值点偏移的两种基本类型以及解题思路

1.结论为

或

的问题(同时满足

)

①求导,获得

的单调性,极值情况,作出

的图像,由

得

,

的取值范围(数形结合);

②构造辅助函数

,求导,限定范围(

或

的范围),判定符号,获得不等式;

③代入

(或

),利用

及

的单调性证明最终结论.

2.结论为

或

问题(同时满足

)

①求导,获得

的单调性,极值情况,作出

的图像,由

得

,

的取值范围(数形结合);

②构造辅助函数(对结论

,构造

),求导,限定范围(

或

的范围),判定符号,获得不等式;

③代入

(或

),利用

及

的单调性证明最终结论.

(2016全国Ⅰ卷理)已知函数

(

)有两个零点.

(1)求

的取值范围;

(2)设

,

是

的两个零点,证明:

.

【答案】见解析

【解析】(1)略;

(2)

,由于

,

当

,

,当

,

,所以

是极小值点,

不妨设

,由于

,所以

,

要证

,即证

,只需证明

,

构造辅助函数

,

令

,

,

,即

在

单调递增,

因

,

由于

在

单调递减,得

.

1.已知函数

(

为常数),曲线

在与

轴的交点

处的切线斜率为

.

(1)求

的值及函数

的单调区间;

(2)若存在不相等的实数

使

成立,试比较

与

的大小.

2.(2020届乐山市高三一研(理))已知函数

的图象与直线

相切,

是

的导函数,且

.

(1)求

;

(2)函数

的图象与曲线

关于

轴对称,若直线

与函数

的图象有两个不同的交点

,

，求证:

.