来源：徐利治《数学方法论选讲》
1. 研究数学方法论的意义和目的
什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。英文methodology一词又译为方法学。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自己的方法论。数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
图1
数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。由于数学领域里的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法。所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辩证法。我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。从近代数学发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾围绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还继续产生着不同程度的影响。
图2 逻辑主义学派主要代表人物罗素
各个数学流派对待数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论观点，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者说来，无论是为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映论观点（即辩证法的反映论观点）去考察问题和分析问题。
2.宏观的方法论与微观的方法论
数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连，因此，数学发展规律的研究，如果撇开数学内在因素不提，那是属于宏观的数学方法论范畴。数学工作者研究数学课题时，也可以不考虑数学发展的外在推动力，专就数学内部体系结构中的特定问题来进行分析研究。这样，就需要考虑采取最有效的数学研究方法，需要懂得数学发现与数学创造等各种法则。这些属于研究工作者个人必须遵循的方法与法则的研究，可以称之为微观的数学方法论。
图3 牛顿
看来，历史上最卓越的数学家如牛顿、欧拉、高斯、傅立叶、拉普拉斯等人，既精通微观的数学方法论，也懂得宏观的数学方法论。否则，他们的成就与贡献不可能对社会生产技术的发展产生那样深远的影响。一般说来，凡是具有历史眼光的数学家，他们的贡献成果，往往起着承上启下的作用，因而总是带有经久不灭的光辉。怎样才能获得“历史眼光”呢？这就需要通过数学史的研究去理解一些宏观数学方法论的基本知识。
图4 《古今数学思想》
这里值得介绍的是，美国数学教授M.Kline曾在1972年出版了一本厚达1200页的巨著——《古今数学思想》，系统地叙述和总结了古今数学思想发展史。该书包藏大量的题材，可作为我们研究数学方法论的一本宝贵的参考资料。还有E.T.Bell的一本名著《数学人物》（1937年出版，1965年重版），其中翔实地记录了古今30多位杰出数学家的生活经历与工作历史，也很有参考价值。
