四大基本辅助线之一平行

【方法说明】

过平面内一点，作一条直线的平行线的辅助线添加方法叫做平行．平行是一个广泛的辅助线添加方式．

【方法归纳】

1．如图，通过平行可以构造同位角、内错角和同旁内角等，实现角度之间的关系的转化．

2．如图，过角平分线上一点作一边的平行线可以构建等腰三角形（OD＝CD）．

3．如图，梯形辅助线中，常常会过一个顶点作一条边或对角线的平行线来构造平行四边形．

4．如图，过三角形一边的中点作另一边的平行线可以得到第三边的中点．

5．如图，通过平行可以构建相似三角形．

【典型例题】

1．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．

（1）如图（1），当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图（2），过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．

图（1）                        图（2）

【思路点拨】

（1）①先读题，并在图中标出已知条件；

②题目要求CD的长度，直接求并不好求；根据条件“当点P为AB的中点时”，即可想到中位线，于是过点P作AC的平行线交BC于点F，如图所示；

③观察发现PF是△ABC的中位线，于是可得BF＝1/2BC；再观察可以发现△PFD≌△QCD，于是可以得到CD＝1/2CF＝3/2．

（2）①读题发现了问题是“线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段”，这种问题先需要猜想，然后才可以得出结论．显然观察发现BE的长度会随BP的长度变化而变化，即可排除一个，再对比题（1）中的特殊情况，发现CD的长度会发生变化，而一直有ED＝3．因此可以得出结论“线段DE长度保持不变”；

②由于点P与点Q一直运动，可以发现有两种情况，需要进行讨论，一种是点P在线段AB上时，另一种是点P在BA的延长线上时．辅助线的方法可以参考题（1），即可得出相应的结论．