2021阿贝尔数学竞赛(挪威数学奥林匹克) 中文翻译

本次考试于2021年3月8日进行, 共4小时.
1A.我们将一个行, 列,且各单元格中的数字分别为的网格表称为一个网格表. 如果某个网格表中的第一行中的数字从左至右降序排列, 且每一列中的数字从上至下降序排列, 就称这个网格表是"整洁的". 求"整洁的"网格表的个数.

1B.养鸡人保尔为他的每只鸡都建立了档案, 每只鸡的档案写在一张小卡片上. 他把卡片放在个盒子里, 每个盒子可以放张卡片.不幸的是, 保尔有点丢三落四, 所以他很担心自己丢失某些盒子. 于是, 他给自己的小卡片做了一些备份, 然后将他们按某种方式分配在这些盒子里. 这样的话, 只要他能找到个盒子, 无论是哪个, 他都能从中找到每只鸡对应的小卡片.
那么, 保尔用这套系统, 至多可以管理多少只鸡的档案?

2A.对任意， 求证：存在个互不相同的正整数, 使得

2B.若实数 与 满足 且 ,求证:

3A.求满足的正整数, 使得存在正整数 , , 满足 为完全平方数.

3B.正整数集若满足, 对任意的各位数字除顺序外都相同， 就称是一个"合成集". 例如就是一个"合成集", 因为. 但不是"合成集", 因为, 两者数字的个数不同.
求证:存在一个"合成集", 其中有2021个互不相同的正整数.

4A.四面体满足 .求证: 各面的面积满足

.

4B.中, 过作其外接圆的切线与直线交于点. 在直线上互异的两点满足 . 求证:  .