贝叶斯概率和狼来了

不确定性是人类生存状况的一个基本事实。正如两位美国数学家所说：“偶然性和不确定性的概念像文明本身一样古老，人们不得不应付天气、食物供应和环境中其他方面的不确定性，并为减少这种不确定性及其影响而奋斗。”概率是人类为应付偶然性和不确定性而发明的武器之一

应对偶然性和不确定性的方法之一是向经验学习，而贝叶斯概率理论可以很好地刻画经验对人们的行为所产生的影响。简言之，概率理论不仅可以捕获证据之间的联系，检验科学假说，而且可以用来描述学习对人们行为的影响。下面我们的分析以寓言“狼来了”为例展开。

伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里时常有狼出没的故事。第一天，他在山上喊：“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天仍然如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，再也没有人来救他。因为前两次他说了谎，人们不再相信他了。

现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的。

首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。我们假设村民过去对这个小孩的印象为：

P（B）＝0.8，P（～B）＝0.2。

这就是表示，小孩可信的概率是0.8，小孩不可信的概率是0.2。现在用贝叶斯公式来求P（B｜A），也就是计算当小孩说谎时他还有多大可信度的概率。实际上，这个小孩每撒一次谎后，村民对他的可信度都会有所改变。在应用贝叶斯公式计算时，我们要用到概率P（A｜B）和P（A｜～B），这两个概率的含义是：前者为“可信”（B）的孩子“说谎”（A）的可能性，后者为“不可信”（～B）的孩子“说谎”（A）的可能性。在此不妨设

P（A ｜ B）＝0.1，P（A ｜～B）＝0.5。

第一次村民上山打狼，发现狼没来，即小孩说了谎（A）。村民根据这个信息，对这个小孩的可信度改变如下，用贝叶斯公式计算可得：

P（B ｜ A）＝P（B）P（A｜B）/［ P（B）P（A｜B）＋P（～B）P（A｜～B）］＝0.8×0.1/（0.8×0.1＋0.2×0.5）＝0.444

这表明村民上了一次当以后，对这个小孩的可信度由原来的0.8调整为0.444，也就是说：

P（B）＝0.444，P（～B）＝0.556。

在此基础上，我们再一次用贝叶斯公式来计算P（B｜A），亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信度改变为：

P（B｜A）＝0.444×0.1/（0.444×0.1＋0.556×0.5）＝0.138

这表明村民经过再次上当，对这个小孩的可信度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时怎么再会上山打狼呢？(5)

从这个例子，我们可以看到用贝叶斯定理可以很好地刻画经验对人们心理变化的影响，它深刻地剖析了村民被骗多次后不愿上山救这个小孩的原因，因为此时小孩说谎的概率已经接近90％！

这个例子实际上是用贝叶斯定理生动刻画了村民的心理变化。下文对如何用概率来测定信念的变化作出了具体的说明。首先，对于先验概率P（B），是如何测定的呢？我们考察的是小孩说谎或者没有说谎两种情况，如果我们对这个小孩一无所知，按照无差别原则，我们应当给这两种可能性赋予同样的概率值，即P（B）＝P（～B）＝0.5。假设其他条件不变，那么小孩第一次说谎后，他的可信度便降低到16.7％了！而第二次说谎后的可信度则降低到13.8％！这也就说明了为什么村民被骗一次就会得到深刻教训的原因。在现实生活中，人们很少会在同一个地方被骗两次。这个概率值更能解释当小孩第三次喊“狼来了”时再也没有人上山去救他的原因，因为这时人们认为他说谎的可能性已经高于86％！这也说明了在现实生活中用同一种骗术是很难让人连续上当受骗三次的。这就是俗话说的“事不过三”。