数学命题教学的过程
数学中的命题，包括公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等。由于数学命题是由概念组合而成，反映了数学概念之间的关系，因此就其学习的复杂程度来说，应高于数学概念的学习。 一、数学命题学习的三种形式 根据命题中的概念与原认知结构中有关知识的关系，现代认知心理学把数学命题的学习分为下面三种形式。 1．下位学习 当原认知结构中的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的命题，这种学习便称为下位学习。 下位学习是数学命题学习中应用较多的形式。中学数学教材中知识的编排顺序，大部分是下位学习的形式。例如“函数”内容的编排体系，是在学习了一般函数的概念、性质之后，再去研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体的函数。 在下位学习过程中，新命题纳入原有的认知结构，或者作为原先获得命题的证据或例证；或者使原有的知识得到扩展、精确化、限制或修饰。因而下位学习比较符合人的认识发展规律，学习目标比较容易达到，这也是教材内容编排多是采用下位学习形式的原因之一。下位学习的效率决定于认知结构中原有的有关观念的形成和巩固，这种包摄水平较高的观念一旦形成，便具有以下特点：①与新知识、命题有直接联系，对后继学习任务特别适合；②具有稳定性，有利于可靠地固定新学习的材料；③可以围绕一个共同的知识点组织有关知识；④能充分解释新学习材料的细节。 2．上位学习 当认知结构中已经形成了几个观念，在这些观念的基础上学习一个包摄程度更高的命题的学习形式称为上位学习。例如，学习了“全等三角形”的有关命题后，再去学习“相似三角形”的有关内容，由于前者是后者的特例，所以这种学习方式就是上位学习。 上位学习是通过对已有的概念、命题进行分析归纳，发现新的关系，从而概括出新的命题的过程。因此可以看出，下位学习主要是通过“分化”去获得命题，上位学习则是通过“概括”获得命题。 3．并列学习 若新命题与原认知结构中的有关知识具有一定的联系，但既非上位关系，也非下位关系，则称这种新命题的学习为并列学习。 在下位学习和上位学习中，由于新命题与原认知结构中的观念都有着直接的关系，所以新命题中概念之间的关系比较容易揭示，而在并列学习中由于缺少这种直接的关系，只能利用一般的和非特殊的有关内容起同化作用，所以并列学习相对来说就要困难些。并列学习的关键在于寻找新命题与原来认知结构中有关命题的联系，使得它们可以在一定的意义下进行类比。例如，“椭圆”与“双曲线”的学习是并列学习，在学习了椭圆的标准方程及其性质之后，对于双曲线的学习就可以类比椭圆的性质去进行。 上面介绍了数学命题学习的三种形式，需要指出下面两点。 (1)数学命题的三种学习形式，其新命题的获得主要是依赖于认知结构中原有的适当观念，通过新旧知识的相互作用去实现的，因此，数学命题的学习实质是知识的同化过程，是新旧知识的相互作用，扩充和改组了原有的认知结构，进而形成新的数学认知结构的过程。 (2)命题的三种学习形式并不是完全彼此孤立的，它们常常共存于同一个命题的学习过程之中，只是有时以下位学习为主，有时以上位学习或并列学习的形式为主。比如，矩形相对于平行四边形而言是下位关系，相对于菱形而言是并列关系，而矩形概念及性质的学习，需要与平行四边形以及菱形的有关知识相比较，因此矩形的学习就包含着下位学习和并列学习这两种形式。 二、数学命题教学的过程及一般方法 数学命题教学的过程分为命题提出、命题证明和命题的应用三个阶段。 1．命题的引入 一般而言，命题的引入可以分为两种形式。一种是直接向学生展示命题，教学的重点放在分析和证明命题以及命题的应用方面。另一种是向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过运算、观察、分析、类比、归纳等步骤，自己探索规律，建立猜想和形成命题。 现代数学教学理论认为，数学教学是一种数学思维活动的教学，教师要引导学生主动参与，积极思维，在“活动”中获取知识。显然，在命题教学中，后一种引入命题的方式更能体现这一思想。具体地说，命题教学中可采用如下一些方法去引入命题。 (1)用观察、实验的方法引入命题。教师提供材料，组织学生进行实践操作，通过动作思维去发现命题。例如，在讲授“三角形内角和定理”时，先让学生把三角形的两个角剪下来，与另一个角拼在一起，引导学生通过观察去“发现”这一定理。 (2)用观察、归纳的方法引入命题。例如，韦达定理的教学就可以采用观察、归纳的方式，让学生自己去发现定理。首先，举一些具体的一元二次方程实例，让学生先求出这些方程的根，然后引导学生观察，方程的两根之和、两根之积与方程的系数之间有何关系？学生会不难发现这种关系并提出猜想，于是教师再引导学生去证明这一猜想进而得到韦达定理。 (3)由实际的需要引入命题。为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用数学的方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处的定理、法则。因此，由实际问题的需要，以问题的形式去探求命题，也是教学中常用的命题引入方式。例如，教师提出问题：在缺乏测量角度仪器的情况下，只能测得某一呈三角形状的土地的三边之长，问能否由三边的长度去求出该三角形的面积？这样就会调动学生渴望解决这个问题的动机，由此再引导学生去探求和推导出“海伦公式”。 (4)由“矛盾”引入命题。例如，在讲授“和角公式”时，可先让学生计算cos30°=____，cos60°=____，cos(30°+60°)=____。通过计算，学生会发现cos(30°+60°)≠cos30°+cos60°。接着教师再提出问题计算cos(α+β)=？是否存在一个公式？于是引导学生去寻求余弦的和角公式。一般地，学生会认为cos(α+β)=cosα+cosβ，但从具体的例子又推翻了这种假设，于是产生了“矛盾”，这种“矛盾”是由于学生的思维定势，将cos作为一个运算元素套用乘法对加法的分配律，导致了一种思维的冲突，在这一情境中引入命题，就能充分地激发学生的学习兴趣，渴望对公式的寻求。 (5)加强或减弱命题的条件引入命题。命题教学中，有时可以对原有命题的条件或结论进行加强或减弱，由此导出新的命题。 除了上述几种常用的引入命题的方法外，还可以从概念的定义出发，结合图形，运用已知公理、定理进行推理去导出命题；也可以从已知定理出发，运用命题形式的关系，构造其逆命题、否命题或逆否命题，得到新的命题。总之，在命题教学中，要根据命题内容，结合学生的具体情况，灵活恰当地设计引入方式，这对于学生理解和掌握命题是十分有益的。 2．命题的证明 命题引入后，教师的重点工作转向对命题的条件、结论剖析，探讨其证明思路。在教学中要做好以下几方面的工作。 (1)注意对定理证明的思路分析。首先，要切实分清命题的条件与结论，要求学生能用语言和数学符号将其表述出来，这是命题证明的基础。对于一些简化式命题，其条件与结论不是十分明显，初学者难以掌握，教学中应恢复成命题的标准形式“p→q”。例如“对顶角相等”，应完整地叙述为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。”并结合图形进一步写成“若∠α、∠β是对顶角，则∠α=∠β。”对于含有多个结论的合取式命题，在教学的初始阶段最好把它按结论的个数分解为几个命题分别处理。例如，梯形的中位线定理“梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半”，可将其分解为“梯形的中位线平行于两底”和“梯形的中位线长等于两底和的一半”两个定理。 第二，要分析命题的证明思路，让学生掌握证明的方法。教学中宜采用以分析法探索证题途径，用综合法表达证明过程，长此训练，使学生养成“执果索因”的习惯。(2)注意命题的多种证法。对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生的思路，训练思维能力，而且还能使学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题的理解。 运用多种方法证明一个命题，一般有两种处理方式。一种方式是在学习该命题时，同时采用两种或多种方法去进行证明，但考虑到教学时间的限制，可以以一种证明为主，另外的证明方法经教师提示后由学生自己在课后完成。另一种方式是利用所学的新命题，返回去证明以前已学过的旧命题，这样，对旧命题而言就体现了“一题多证”，更重要的是，这种方式还能帮助学生找出新旧知识的联系，形成知识体系。 例如，学习“勾股定理”，可以采用构造图形方法，利用面积关系来证明。在学习了相似三角形的内容之后，可利用“射影定理”返回去再证明勾股定理。 (3)注意建立数学命题系统化体系。如同形成概念体系一样，数学命题的系统化对于学生全面系统地掌握知识，形成合理完善的认知结构有积极的促进作用。在教学中，教师要揭示命题之间的联系，从纵、横两个方向对知识进行整理，纵的方向按逻辑关系整理，横的方向按命题的用途归类，这样就把数学命题与其相关的知识联成网络，在应用时就能使相关的知识发挥其各自的作用，同时还能体现出知识的整体功能。例如，直线方程的几种形式可以在直线的一般式方程中得到统一，教学中应当揭示这种内在的统一性，同时还要指出各种形式的方程的不同用途。又如，归纳出“证明四点共圆”的常用命题，也就归纳出了解决这类问题的常规方法：四点到一定点的距离相等；同底等顶角的两个三角形的四个顶点共圆；对角互补的四边形的四个顶点共圆；外角等于内对角的四边形的四个顶点共圆；位于同一直线段上的两直角顶点与这一线段的两端点共圆等等。 (4)注意揭示数学的思想方法。一个数学命题的产生，本身就包含着一定的思想和方法。在命题教学中，教师应当揭示隐含于数学表层知识之中的数学思想方法，这对于发展学生的数学能力、提高数学素养是十分有利的。例如，推导一元二次方程的求根公式，要指出“配方法”的功能和作用；对于圆周角定理的证明，要突出“分类思想”；关于数列的有关概念、性质，则应体现“递归思想”、“函数思想”，其研究方法又涉及了“归纳法”、“迭代法”、“累加法”等具体的数学方法。 3．命题的应用 一般而言，数学中的定理、法则、公式等都是包摄程度较高的命题，应用它们可以解决众多的数学问题。同时，命题的应用又是训练学生的逻辑推理能力、发展学生思维能力的必由之路，因而，命题的应用是命题教学中必不可少的重要环节。具体地说，在定理、公式、法则的应用中，要注意安排好各类习题，既有基本训练题，又有巩固知识的题型，还要有综合型的题目。另外还应适当地补充一些逆用、变用定理及公式的例题、习题，以培养学生活用、逆用命题的能力。下面以等比定理的应用为例，说明命题应用中的一些注意事项。 (1)注意定理的条件。 忽视定理、公式的条件而产生错误，是学生在学习中的一种普遍现象，教学中必须引起教师的高度重视。 (2)注意研究定理的反面。 研究定理的反面，是训练学生逆向思维能力的有效途径，教师应当有这种意识。 (3)灵活应用定理。以题组的形式，由浅入深地在不同层次上应用定理。题目包括：直接用定理的类型；用证明定理的方法(比值换元法)去解决的类型；用上述“完善的等比定理”去解决的类型；综合类型等，题目的形式可以多样化。 (4)进行定理的推广。在命题教学中，根据学生的知识水平和接受能力，有时可以将命题进行一定程度的推广，以开拓学生的视野，使其受到数学研究方法的