探索物理学之美：深层探索对称性、因果关系与守恒定律

3月20日

摘要：本文主要介绍物理学中的对称性、因果关系与守恒定律

在现代物理学中对称性是个很深刻的问题。在粒子物理、固体物理、原子物理等许多领域里，对称性的概念都很重要。对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领域中，所谓“对称”，通常是指左右对称。人体本身就有近似左和右的对称性。各类建筑，特别是古代建筑都有较高的左右对称性。除了左右对称之外，还有轴对称、球对称等等。

图1 祈年殿

什么是对称性？

为了介绍对称性的普遍定义，我们先引进一些概念。首先是“系统”，它是我们讨论问题的对象；其次是“状态”，同一系统可以处在不同的状态；不同的状态可以是“等价的”，也可以是“不等价的”。我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作叫做该系统的一个“对称操作”。

图2 旋转的陀螺

例如，一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作来说是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是该圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂直的直径，这个系统的对称操作就少多了。转角必须是90度的整数倍，操作才是对称的。

1951年，德国数学家外尔提出了关于对称性的普遍严格的定义：“如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说系统对于这一操作使对称的，而这个操作叫做这个系统的一个对称操作。”常见的对称性时空操作有空间的平移和转动以及时间的平移。

图3 德国数学家外尔

一个物体发生一平移后，若仍和原来相同，这形体就具有空间平移对称性。平移对称性有高低之分，一条无穷长直线对沿自身反向任意大小的平移都是对称的。一个无穷大平面对沿平面内的任何方向平移都是对称的。但晶体构成立方体晶格点阵只对沿确定方向，而且一次平移的“步长”具有确定值的平移才是对称的，显见晶体的平移对称性就低。

如果使物体绕某一固定轴转动一个角度，若仍和原来相同，那么这种对称叫做转动对称或轴对称。轴对称也有级次之别。如树叶图形绕中心线旋转180度后可恢复原状，而六角形的雪花绕通过中心的垂直轴转动60度后就可以恢复原状。后者比前者的对称性级次高。天坛祈年殿的外形绕其中心垂直轴几乎旋转过任意角度都和原状一样，所以它具有更高级次的转动对称性。

图4 枫叶的对称性

一个精致不变的系统 对任何间隔Δt的时间平移表现出不变性，而一个周期性变化的系统（如单摆）只对周期性T数倍的时间平移不变。他们都具有一定的时间平移对称性。

物理定律的对称性

以上对称性都是指某个系统或具体事务的对称性，另一类对称性是物理定律的对称性，它是指经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变。因此物理定律的对称性又叫不变性，这类对称性在物理学中具有更深刻的意义。

图5 牛顿第二定律验证试验装置

物理定律的空间平移对称性。

设想我们在空间某处做一个物理实验，然后将这套实验（连同影响该实验的一切外部因素）平移到另一处。如果给以同样的起始条件，实验将会以完全相同的方式进行。这说明物理定律没有因平移而发生变化。这就是物理定律的空间平移对称性。它表明空间各处对物理定律是一样的，所以又叫做空间的均匀性。

图6 迈克尔逊莫雷试验示意图

物理定律的转动对称性。

如果再空间某处做实验后，把整套仪器（连同影响实验的一切外部因素）转一个角度，则在相同的起始条件下，实验也会以完全相同的方式进行，这说明物理定律并没有因转动而发生变化。这就是物理定律的转动对称性。它表明空间的各个方向对物理定律是一样的，所以又叫做空间的各向同性。

物理定律的时间平移对称性。

如果我们用一套仪器做实验，该实验进行的方式或只需和此实验开始的时刻无关的。无论在什么时候开始做实验，我们得到完全一样的结果，这个事实表示了物理定律的时间平移的对称性。

图7 牛顿摆

关于物理定律的对称性有一条很重要的定律——对应于每一种对称性都有一条守恒定律。例如，对应于空间均匀性有动量守恒定律，对应于空间的各向同性有角动量守恒定律，对应于时间平移对称性有能量守恒定律，对应于空间反演对称性有宇称守恒定律等。

在时间反演变换下，保守力f、加速度a和质量m都是不变的，所以牛顿第二定律f=ma对于保守力具有时间反演不变性，这是物理定律的对称性。地面上一个物体所受的重力f=mg所具有的时间反演不变性，也是物理定律的对称性。在重力作用下的自由落体，经过时间反演，就变成了上抛物体，它的速度反向了，其运动具有时间反演不变性。若把自由落体的录像倒过来播放，观众不能判断正反。为什么？因为两者都符合物理规律。（这里没有考虑空气的阻力）

图8 苹果自由落体运动

在速度不大的情况下，空气阻力f=-γv，符号表示阻力的方向总与速度v相反。在时间反演变换下v→-v，从而阻力公式变成f=γv。亦即阻力公式不具有时间反演不变性。这就是物理规律对于时间反演的不对称性了。如果将空气阻力效应明显的落体运动录下来，倒着放映，观众就会察觉不对头，因为它违反物理规律。

因果关系和对称性原理

自然规律反映了事务之间的因果关系。所谓“因果关系”就是在一定条件下回出现一定的现象。在这种情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定产生相同的结果”。但宏观世界的事务没有绝对相同的，我们可以把用词放宽一些，用“等价”一词代替“相同”，把因果关系归结为：等价的原因→等价的结果。这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。

图9 鸡和蛋之间的因果关系

一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，上述等价原理可以改写成下列公式：对称性的原因→对称性的结果。

应该注意，因果关系的等价原理中箭头是单向的，即只有“等价的原因必定产生等价的结果”，但是等价的结果可能来源于 不等价的原因。从而上列用对称性来表达的因果关系中箭头也是单向的，即对称的结果也可能来源于不对称的原因，所以我们说：原因中的对称性未必 反映在结果中，即结果中的对称性之少有原因中的对称性那么多。反过来应该说：结果中的不对称性必在原因中有反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。这个原理叫做对称性原理，它是皮埃尔·居里于1894年首先提出来的。

图10 能量转化的基本规律

守恒定律与对称性

客观世界中存在某些对称性，如时间的平移对称性、空间的平移对称性、空间的各向同性等，每一种对称性都对应有一条守恒定律。对此，德国数学家诺特于1918年进行了严格的论证。看一下能量守恒定律。从宏观的角度看，物体系有保守系和非保守系之分，前者机械能守恒，后者则不然。从微观的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的相互作用可通过相互作用势（分子力势能）来表达。

图11 火箭发射符合动量守恒原理

时间均匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关，亦即对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总能量（动能+势能）自然是守恒的。

我们可以举例来说明，在相反的情况下能量可以不守恒。某地建设了一个抽水蓄能电站，夜间用电低谷是抽水上山，白天用电高峰时防水发电。利用昼夜能源的价值不同，可以获得很好的经济效益。倘若昼夜变化的不仅是能源的价值，而且是重力加速度g（它代表着万有引力的强度），从而水库中同样水位所蓄的重力势能mgh做周期性的变化，则抽水蓄能电站获得的不仅是经济效益，而且是能力的盈余。于是永动机的梦想实现了。而时间的平移不变性不允许出现这种情况。

要知道牛顿第三定律，即作用力和反作用力大小相等，方向相反和动量守恒定律是等价的，我们同样可以利用空间平移不变性推出动量守恒定律。也可以利用空间的各向同性推出角动量守恒定律。