【中考专题】费马点模型——解决到3个点距离最短问题的利器!

说明:

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差,他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。费马,是当今常见译法,也翻译作费尔马。80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况,但“费玛”则少见。

费尔马点:

如果存在一个点到三角形三个顶点的距离之和为最小,则这个点称为费尔马点。

解读:

如图,点E就是△ABC的费尔马点:

证明:

情况一:当△ABC最大内角小于120°时

以C点为旋转中心,将△CDB 逆时针旋转60度到△CEF位置。易知DB=EF,DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF,显然当A、D、E、F四点共线时,距离之和最短。当A、D、E共线时,∠CDA=120°,当D、E、F共线时,∠FEC=∠BDC=120°,所以D点应该对三个顶点的张角都为120°,这就是费尔马点的位置。

情况二:当△ABC有一内角不小于120°时:

很显然此时点C就是费马点,由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时,费马点就是该内角顶点。

综上所得:我们知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。

特别地,如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则有结论:

(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,

(2)P到A、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

证明:∵AF=AB,∠FAC=∠BAE,AC=AE,∴△AFC≌ABE. ∴CF=BE

同理可证△BCF≌△BDA,CF=AD.  ∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE ,∴∠AFC=∠ABE,∴∠BPF=∠BAF=60°,∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°, ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.

应用:

例1.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,求AP+BP+PD的最小值.

思考:若正方形ABCD内有一动点E,到点A、B、C三点的距离之和最小值为p,则此正方形的边长为________________.(含p的式子表示).

变式2.如图,已知四个城市A、B、C、D的位置为正方形的四个顶点,现要建设高速公路连结A、B、C、D四个城市,请你设计出最短的高速公路的线路图。

(注:不计连接点的个数,使得总路程和最小.)

拓展阅读:

材料一     “最小势能原理”确定费马点

在物理有一个这样的“最小势能原理”(也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet):“一个物体或系统当处于平衡位置时,它的势能是最小。如果一个物体或系统当所处的位置,使它的势能是最小,那么这点就是它的平衡位置。”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。

首先用铁线作和原三角形同大小的三角形,在每个顶点放上一个滑轮。每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。假定吊物体另外一端的线都绑在一起,这结点称为 P。现在让重物重挂下来,这结点最初会移动,可是过一会儿它就不动了,这时正是整个系统处于平衡状态。这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。为什么会如此呢?假定三角形与地面的距离是 h 。滑轮 A , B , C 挂的重物与地面距离分别为 a , b , c 。绑重物的所有绳子长是 t 。现在令整个系统的重心是 G ,并且距离地面是 r。则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= ( 3m )· rr=(a+b+c)/3在平衡位置时,重心最靠近地面,因为这样它的势能才是最小,因此此时 a+b+c 也是最小。吊在滑轮下的绳子共长( h-a ) + ( h-b ) + ( h-c )即 3h- ( a+b+c )。因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于: s=t-[3h- ( a+b+c ) ]= ( t-3h ) + ( a+b+c )。t-3h 是一个固定数, s 的长最小当且仅当 a+b+c是最 小。因此只有在系统平衡时,结点的位置必须是“费马点,才能使到 a+b+c 为最小。你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。

现在在铁三角形里的结点 P受到三个相等的拉力拉。从物理学我们知道:“平面三力成平衡,那么三力线或者平行,或者交于一点。”因此如果我们用 f 表示这三个方向量,这三个向量是形成一个正三角形,而且其向量和要等于零。由此可知这些绳在“费马点”时所张开的角度是 120 °。

材料二  最小光程原理即椭圆光学性质确定费马点

我们可以借助椭圆的光学性质来理解一下,即椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点,也即等价于椭圆上任意点的切线与两焦半径所夹的角相等。 如图

上面我们说到三角形中的费马点到三顶点距离之和最小,再结合最小光程原理即椭圆光学性质,我们便会意识到椭圆上的P点会不会是三角形ABC内的费马点呢?

如下图   以B和C为焦点,BP+PC为长轴作椭圆,以点A为圆心,AP为半径做圆,可证明它们相切于点P,公切线为l,根据椭圆光学性质,AP必平分∠BPC,可得∠APB=∠APC,同理也可证的∠APC=∠BPC,可得点P与费马点吻合。

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