【八年级】一次函数的图象在相遇问题中的应用

利用一次函数的图象交点的个数来反映行程问题中相遇的次数，充分体现了数形结合的数学思想，解决此类问题首先我们要理解当速度一定时，路程与行驶时间之间满足一次函数（特殊正比例函数）关系，因此图像是直线型，当限定时间范围时，图像就变成一条线段，若将两车行驶的路程与时间函数关系用图象反映在同一平面直角坐标系内，必然出现相交的情形，交点就代表两车相向（同向）行驶时的相遇情况.下面我们通过例题加以分析说明.

例1、某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图1表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．

（1）请在图1中画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象；

（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；

（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？

分析：（1）观察图1，发现快递车8个小时在A、B两地之间往返2次，且单程行驶时间是2小时，要画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象，根据题意可知货车总共花费时间为10小时，去掉装卸货物2小时，实际行驶了8小时，说明从A到B地行驶了4小时，返回时也用了4小时，又早出发1小时，返回时比快递车最后一次返回A地晚1小时．又图象是一条线段，故可画出图象为图2的实线部分.

（2）观察快递车与货车行驶所反映出图象可以发现共有4个交点，因此可以判断两车在途中相遇的4次.

例2、如图3，在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点(x轴上0小时)到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时。求：今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中(不包括大连和烟台)遇到几只从对面开来的本公司轮船，在遇到第三只从对面开来的本公司轮船的时间及离大连距离.

分析：解答本题关键要读懂图象提供的信息，观察图象可知，轮船航行的时间和它离开港口的距离符合一次函数关系（图象是线段），x轴上的2、4、6、8分别表示实际时间的10时、12时、14时、16时；（每一时刻有一只轮船从大连开往烟台）；8、10、12、14、16表示对应16时、18时、20时、22时、24时，每一时刻有一只轮船从烟台到达大连.因此线段OA表示今天上午8点轮船从大连开往烟台的时间和与大连的距离之间关系的图象，与它平行的线段表示每隔2小时开出的轮船与大连的距离关系的图象；线段BC及和它平行的线段就表示轮船从烟台开往大连的时间与烟台的距离之间关系的图象.显然轮船在航行中遇到4只从对面开来的本公司轮船；欲求遇到第三只从对面开来的本公司轮船的时间及离大连距离即只要求出线段OA与线段BC交点的坐标即可，为此需先求出线段OA与线段BC所在的直线的函数解析式.

由图象(如图)可知，A点坐标为(8，160)，B点坐标为(4，160)，C点坐标为(12，0)

设直线OA的解析式为y=kx，∴160=8k，∴k=20  ∴直线OA的解析式为y=20x             

设直线BC的解析式y=mx+n，

∴今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中遇到第三只从对面开来的本公司轮船的时间和离大连的距离分别为14点和120千米.

评注：本题以独到的命题手法，将行程中的相遇问题转化为观察函数图象交点的个数来反映相遇的次数；从图象上可以看出离开港口的距离与行驶的时间关系图象为线段，说明时间与距离之间关系是一次函数，欲求两轮船相遇时间及距离就转化为求两直线的交点的坐标，进而转化为二元一次方程组求解，从分析过程中不难看出正确地提取图象反映的数学信息是关键，同时数形转化也是指导我们解题的尚方宝剑.