【解题研究】（2021黑龙江牡丹江、鸡西26）构造手拉手模型、特殊三角形、类比探究

2021黑龙江牡丹江、鸡西26题

已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

图1                           图2

图3

（1）如图1，求证：AB+BF＝2BD；

（2）如图2、图3，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．

试题分析

（1）构造等边三角形ABT，与等边三角形AEF构成手拉手模型的“母三角形”，再证“子三角形”△ATF≌△ABE，结合30°角直角三角形的性质得到BD  BE，等量代换即可得到结论；

（2）与第一问类比解决，照搬即可，照搬思路，照搬辅助线，照搬结论，照搬字母．

题目解析

（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵BA＝BT，∠ABT＝60°，

∴△ABT是等边三角形，

∵△ABT，△AEF是等边三角形，

∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，

∴∠TAF＝∠BAE，

在△ATF与△ABE中，

∴△ATF≌△ABE（SAS），

∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，

∵ED⊥AB，

∴∠DEB＝30°，

∴BD  BE，

∴TF＝2BD，

∵BT＝AB，

∴AB+BF＝2BD．

（2）①如图2，结论：AB﹣BF＝2BD．

理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵△ABT，△AEF是等边三角形，

∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，

∴∠TAF＝∠BAE，

在△ATF与△ABE中，

∴△ATF≌△ABE（SAS），

∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，

∴∠EBD＝60°，

∵ED⊥AB，

∴∠DEB＝30°，

∴BD  BE，

∴TF＝2BD，

∵BT＝AB，

∴AB＝2BD，

∴AB﹣BF＝2BD．

②如图3，结论：BF﹣AB＝2BD．

理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵△ABT，△AEF是等边三角形，

∴AT＝AB，AF＝AE，

∴∠TAF＝∠BAE，

在△ATF与△ABE中，

∴△ATF≌△ABE（SAS），

∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°，

∴∠EBD＝60°

∵ED⊥AB，

∴∠DEB＝30°，

∴BD  BE，

∴TF＝2BD，

∵BT＝AB，

∴BF﹣AB＝2BD

解后反思

本题属于几何变换综合题，解题时添加辅助线构造手拉手模型，同时应用类比探究方法，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形（手拉手模型）是解题的关键．