相似三角形专题训练，相似三角形和位似图形与二次函数综合运用
位似图形的定义
1.定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比也称为位似比.
温馨提示：(1)位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
(2)两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上；
(3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.
2.常见模型：
3.性质：(1)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
(2)位似图形对应点的连线交于一点；
(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等；
(4)位似图形是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.
注意：(1)位似图形中任意两对对应点的连线的交点就是位似中心；
(2)一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似.
4.位似图形的画法：(1)确定位似中心；
(2)分别过位似中心和原图的各关键点作直线；
(3)根据相似比，找出所作位似图形的对应点；
(4)按原图连接各点，得到放大或缩小的图形.
注意事项：(1)符合条件的位似图形往往不唯一；
(2)作出的位似图形一般有两种情况，一是各对应点在位似中心的同侧，二是各对应点在位似中心的两侧；
(3)作位似图形时，要注意相似比的顺序性.
5.位似变换与坐标：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原
图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
6.“一线三等角”在相似三角形中的应用素养解读：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等，在这样的模型中，存在相似三角形.若出现了边相等的条件，相似就转化为全等.
经典例题集锦：
1.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点,连接AE并延长,交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为 ( )
A.1/3 B.1/5 C.1/6 D.1/11
2.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 ( )
A.1∶3 B.2∶3 C.√3∶2 D.√3∶3
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=6，AB=7，点P是线段BA上的一个动点，连接PC、PD.若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD∶BD=2∶1，点F在AC上，AF∶FC=1∶2，连接BF，交DE于点G，那么DG∶GE等于 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶5
5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1/3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为 ( )
A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2)
6.已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，E、F分别是AC、BC中点，则CD与EF关系是( )
A.EF＞CD B.EF=CD C.EF＜CD D.不能确定
7.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止.即PA=x，点D到直线PA的距离DE为y，则y关于x的函数解析式是 ( )
A.y=12x B.y=12/x C.y=3/4x D.y=3/4x
8.如图，在△ABC中，点、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为 ( )
A.2√3 B.3√2 C.2√6 D.5
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t s(0≤t<4)，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为( )
A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5
10.如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，CE，BD，CE和BD相交于点F，若△BEF的面积为1，则▱ABCD的面积为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.16
以下内容为付费内容34%
11.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G.设△EFG、四边形FBCG的面积分别为S1,S2，则S1∶S2= .
12.如图，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若点P是二次函数y=-x²+3x的图象在y轴右侧部分上的一个动点，且以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= .
14.如图，边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，P在射线DC上从D出发，以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE,当运动时间为 秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似.
15.如图，一次函数y=3/4x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=3/x(x>0)的图象交于点C，点P是反比例函数y=3/x(x>0)图象上的一点，作PQ⊥x轴于点Q，连接OP.当点P的坐标为 时，△OPQ与△OAB相似.
16.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE、EF为邻边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是 .
17.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，别交BC,AC于点F、G.
(1)求证：BF=CF；
(2)若DG=4，求FG的长.
18.如图，,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆
O于点F.已知CE=12，BE=9.
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径r的长.
19.如图，点D在以AB为直径的☉O上，,AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.
(1)求证：直线CD是☉O的切线；
(2)求证：CD·BE=AD·DE.
20.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，AE⊥DE.
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB=4,AE=BC=5，求CD的长；
(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系，并说明理由.