深度解析 | 函数的极值与最值
函数的极值
我这样理解极值相关概念：
➤极值点不是一个点，而是点的横坐标（类似零点概念）；
➤函数的极值点可能不唯一，有时会有多个；
➤定义域端点一定不是极值点，端点的函数值一定不是极值；
➤极值是函数局部性质，
是在定义域某一局部范围内的最大值或最小值；
➤函数的最大值为MAX{极值、边界函数值}
最小值为MIN{极值、边界函数值}；
➤极值点原本与导数无关；
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认识两个假命题
函数在极值点处一定取图像局部的最高点或最低点。而导数为0，则只能说明函数在该点处的切线是水平的，并不能代表这个点就一定最高或最低。
所以，现在知道，为什么课本中在判断极值点时，总是会不厌其烦地列表了吧?那是因为，就算求出了导函数的零点，也并不能完全说明该点就是极值点，更不能说明是极大值点或极小值点。
典例讲解
函数在极值点处一定是图像局部的最高点或最低点。但并不能说明函数在该点处导数就一定存在取，只有导数存在时，极值点处的导数值才等于0。
“圆点可导，尖点不可导”，是指曲线只有在圆点处才会存在切线，而尖点处是不存在切线的。
那么，从这两个假命题我们就不难看出，函数“在某点处的导数值为0”，应该是“该点为极值点”的既不充分也不必要条件。
当然，对于可导函数来说，函数“在某点处的导数值为0”，应该是“该点为极值点”的必要不充分条件。
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极值与最值的关系
其实，极值与最值的关系是很好理解的，极值是函数局部范围的最大或最小值。而最值，是函数在整个定义域内的最大或最小值。极值一定在定义域内部产生，而最值，有可能是函数在定义域端点处的函数值。
因此，求函数的最值，只需求出函数的全体极值以及端点函数值，再进行比较，最大的为函数最大值，最小的，为函数最小值。
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从极值到“拉格朗日乘数法”
如果从函数的角度来说，
我们一般把含一个自变量的函数称为一元函数，
也就是我们现在所常见的函数了；
如果一个函数含有两个自变量，
我们称之为二元函数，
可以以此类推。
一元函数的图像是曲线，
二元函数的图像在三维空间里应该就是曲面了。
一元函数的极值点是函数图像的拐弯点，
也就是增减区间的分界点，
那二元函数呢?
曲面的“拐弯”点依然叫做极值点。
如下图：
当然
和一元函数一样
也并不是所有的二元函数都有极值点的
在我们考试时，是不是经常会遇见让人头疼的二元代数式的最值问题呢?其实，我们如果从二元函数极值的角度去进行思考，就很方便了。
我们就直接看例子。
不过在例题之前，还是要先了解一个概念——偏导数。
在数学中，一个多变量函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。
特别说明：
和一元函数极值点与该点处导数为0之间的关系相类似，两者并不等价，但在高中阶段，一般情况下计算出的结果即为最值。
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来源：素人素颜（ID：Pengxidong666），作者：彭西东；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。