挑战压轴题：二次函数中点的存在性问题

本来是想只推送一个英语内容，不过想想还是加上一道数学题吧，毕竟那英语语法内容少，一个字一个字地看加上记忆估计也不用5分钟时间，因此还是给同学们分享一道中考数学压轴题。

今天的题要手打了，由于书本比较厚，页面比较宽，拍照效果不好，所以题目手打，图片仍然拍照。

如图所示，抛物线y=ax²+bx经过点A（-4,0）、B（-2,2），连接OB、AB。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；

（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA'B'，写出A'B'的中点P的坐标，试判断点P是否在抛物线上；

（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M的坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由。

看过题后，大家会发现其实难度不大，虽然有点的存在性问题，但是其涉及到的思维开阔性还是比较小的。那么开始吧。

（1）解析式不用多说，两点代入求解即可；

（2）求证等腰之家三角形，还是简单问题，得到AB=OB，然后∠AOB=45°，随即就能得到∠ABO是90°，所以结论成立；

（3）逆时针旋转后，OB转到了y轴的负半轴上，A'在第四象限，根据OB和AB长度很容易能得到点B'和A'的坐标，所以点P的坐标也很容易得到；

要判断点P是否在抛物线上，只需要将P的横坐标代入抛物线求得y值是否为P的纵坐标即可；

（4）点的存在性问题，多数情况下算是二次函数压轴最难的部分之一，不过这道题还好，很明显情况比较少。

直角梯形，题中已经有了两条边，而且相邻，那么这两条边肯定有一条是底，一条是腰，所以过A作OB的平行线交抛物线于点M，此为第一种情况；

过O作AB的平行线交抛物线于点M，此为第二种情况；

这里有些同学会问，怎么找平行线？或者怎么求出来平行线的解析式呀？问这个问题的同学肯定是没有看过老师以前推送的一篇“二次函数中面积最大值问题”，里面为同学们提供了找平行线统一的方法----直线平移。不知道怎么做的同学可以在聊天界面的菜单栏中依次点击：初中-数学-九年级-二次函数中三角形面积最大问题，同样是直线平移，只不过这道题更容易些，只需要将已知点坐标代入即可求得平行线解析式，具体过程不再多说，同学们请自行解决，不过同学们在不会的情况下还是最好先不要去看答案，因为答案毕竟是答案，不是自己思考出来的，如果能凭借自己的能力思考出来或者是在别人的稍微题型下做出来，那么才算是真的掌握住了。

求出平行线的解析式后，与抛物线相交，求得点M的坐标，那么梯形的四点顶点坐标都可以已知了，每条边的长度都能求出来了，相信面积应该不是问题了吧？