初中数学竞赛题（难）

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，

求证：EF//AB；

这道题中仅有角平分线和高线以及两个中点条件，所以看完题目就能发现绝对不简单，

首先，E、F这两个中点所在的线段PM和QN根本就不是共端点的线段，所以要想直接用中位线无疑是不现实的，所以就要想办法进行其他方面的转换，

我们先来思考两个角平分线的作用，

除了能得到相等的角，还有到角两边距离相等，

但是貌似这个用不上距离，只有相等的角能排上用场，

我们先来分析一下PM和QN，

PM在△CPM中，QN在△CQN中，

到这里，如果同学们的观察能力较强，则会发现∠CMP和∠CPM可能相等，同时∠CNQ和∠CQN也可能相等，

那么到底是不是呢？

∠CMP+∠CAM=90°，

∠CPM=∠APH，

而∠APH+∠PAH=90°，

由于∠CAM=∠PAH，

所以可得∠CMP=∠CPM，

同理可得∠CNQ=∠CQN，

那么△CPM和△CQN就是等腰三角形了，

等腰三角形的底边的中点已经给出，那么就可以联想到三线合一，

所以我们连接中线，

如图，连接CF和CE，则可得CF⊥NQ，CE⊥PM，

同时我们将这两个中线延长，使它们和AB相交（这里就是结论的突破口）

假设交点为K、L

我们已经知道AM是角平分线，同时AM⊥CK，

所以可以得到E为CK中点，

同理可得Q为CL中点，

那么在△KCL中，就出现了中位线EF，

所以EF//AB；