七上14讲 怎样学好方程应用题(上)—— 找好相等关系，解法自然多样
写在前面
期中考试已经渐行渐远，无论考的好与坏，我们都应向前看，抓好接下来一段时间的学习，那么，面对一元一次方程应用题，我们该注意避免哪些问题呢？让我们一起来看看！
解题步骤
在解一道一元一次方程应用题时，我们一般有以下6个步骤
(1)审：审题，分析题中的已知量、未知量，明确它们之间的关系．
(2)找：找出一个能表示问题中全部意义的相等关系．
(3)设：设未知数(一般求什么就设什么)，写好单位名称．
(4)列：根据相等关系列出方程．
(5)解：解所列出的方程，求出未知数的值．
(6)答：检验所求解是否符合题意，写出答案．
其中，第(3)－(6)步是需要写出的，在最近的学习中，发现了第(3)步解设未知数时，出现了许多问题，因此，在文章的开头，先给同学们做个提醒．
常见错误
设未知数时，无单位，少括号，交代不清．
我们一再强调，在解设未知数时，一定要加上单位，比如常见的速度单位千米/小时(km/h)，米/分(m/min)，米/秒(m/s)．
再比如，甲班比乙班多2人，设甲班有x人，则乙班有(x－2)人，注意，x－2是多项式，最后是加减法，后面有单位，就得加上括号．
还有如在数字问题中，交换十位和个位数字，得到新的两位数，那么应该解设原两位数的十位数字为x……
求解不完全
比如在有些问题中，你所解设的未知数与实际所求的量不一样，但最后就把求出来的结果写进答句里，其实还要再多做一步．
没有答句
找好相等关系
1、配套问题及变式
例1：
某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲，乙两种零件分别取3个，2个才能配成一套，现要在27天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲，乙两种零件的天数?
分析：
这种配套问题，怎样给学生讲清楚是一个难点，网上的有些笔者并不喜欢，总觉得很难解释，在此，介绍两种更能让同学们接受的相等关系．
第一种，套数相等，3个甲种零件成一套，则对应的总套数就是甲种零件的总个数除以3，2个乙种零件成一套，则对应的总套数就是乙种零件的总个数除以2，两种情况下的总套数应该相等．
我们可以列表分析：
第二种，不同零件间的倍数关系，3个甲种零件配2个乙种零件，则要配套的话，甲种零件的个数必然是乙种零件的1.5倍，利用这倍数关系列方程．
解答：
法1：
法2：
变式：
分析：
本题若要想利用套数相等，找相等关系还是比较抽象的，我们可以这么想，假设3名工人生产的螺丝刚好与1名工人生产的螺母配成1套！
当然，利用倍数关系就更好理解一些，3名工人生产的螺丝刚好与1名工人生产的螺母配套，说明要配套的话，生产螺丝的工人恰好是生产螺母的工人数的3倍．
解答：
法1：
法2：
综上，正确的有①②④．
2、盈亏问题的两种方法
例2：
某工人原计划在规定的时间内加工一批零件，如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件，就可以提前1小时完成．问这批零件有多少个？按原计划需多长时间完成？
分析：
本题不难，我想多数同学都能做，即便是用2种方法，但笔者想借本题，来说说到底怎样来找相等关系？
其实，对于一般常规的题目，总是会涉及3个量，比如行程问题中的时间，速度，路程．工程问题中的效率，时间，工作总量．利润问题中的单价，数量，总价．
而题目中，一般都会把一个量明确，那么，我们就用另外一个量作未知数，最后的那个量，就用来找相等关系！
本题中，我们可以设总零件数为未知数，那么就从时间上来找相等关系，显然，两种情况下规定的时间相等．
那么将总零件数加上超额完成的3个，除以第一种情况的速度，就是规定时间，总零件数除以第二种情况的速度，再加上提前完成的一个小时，也是规定时间．
如果设规定的时间为未知数，那么就要从总零件数上找相等关系，两种情况下总零件个数相等．
那么用规定时间乘上第一种情况的速度，再减去超额完成的3个，就是总零件数，用规定时间减去提前完成的1个小时，再乘上第二种情况的速度，也是总零件数．
解答：
法1：
法2：
3、工程问题的非典型个例
例3：
为庆祝校运会开幕，七(2)班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了原计划的三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面?
分析：
本题不是常规的几人先合作，一人单独做，工作总量设为单位1的工程问题，而是效率有变化的工程问题，怎么思考呢？还是去找三个量，显然，涉及到效率，时间，工作总量．其中，效率是知道的，之前每天制作40面，那么全班参与，就是每天制作80面．那么只能在时间和工作总量中，选一个设为未知数，另一个找相等关系了．
第一种，直接设制作的总面数为未知数，那么必然在时间上找相等关系，发现后三分之二的工作提高效率后，时间减少了，那么就利用原计划时间－实际时间＝1天半来列方程．
第二种，也可以设总计划天数未知数，那么必然在制作的总面数上找相等关系，显然，我们可以利用两种情况下总面数相等来建立方程，原计划时间×效率＝原计划时间的三分之一×效率＋新效率×(原计划天数的三分之二－1天半)
当然，我们也可以只关注后面的三分之二的工作量上．
毕竟时间的缩短，就与效率的提升有关．
不妨设原计划完成三分之一后，计划再做x天，利用两种做法做的原计划总面数的三分之二是相等的来建立方程．
或者设原计划完成三分之一后，还要再做x面，利用计划再做的天数－实际再做的天数＝1天半建立方程．
解答：
法1：
法2：
法3：
法4：
小结回顾
怎么样找相等关系，其实就一个宗旨，常规的题目，总是会涉及3个量，而题目中，一般都会把一个量明确，比如，下一讲的重点是行程问题，通常会给你两种情况下的时间，那么，如果把速度作为未知数，那么就一定是从路程上找相等关系！