定积分专题06：定积分相关的几个重要不等式结论及其应用典型例题分析

本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。

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主要内容目录：

1、Schwarz不等式
2、赫尔德不等式
3、Hadamard定理
4、利用定积分重要结论的定积分证明

例题与练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：若函数在 上可积，则

练习2：若函数是 上两个非负连续函数，，且，则当时，

当时，

练习3：若在上连续且为下凸函数，则， ，有
练习4：设在上连续可导，且 . 求证：
练习5：设函数在 上连续可导，且. 证明：
练习6：设函数在 上连续可导，且. 证明：
练习7：设函数是闭区间上的正值连续函数，且. 证明：
练习8：设是定义在 上的正值连续函数. 证明：

练习9：设在连续且， ，为任意实数. 证明：

练习10：设函数在 上连续，且. 证明：
练习11：设函数在 上连续，且满足

证明：.

练习12：设函数在 上具有一阶连续导数，且 . 证明：

等号成立条件为.

练习13：设函数在 上连续， 不恒为零， 恒正，记

证明：存在.

练习14：设函数在 上连续可微，且.证明：

等号成立条件为，其中为常数.

练习15：设. 证明：

【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

参考解答

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