三角形中内接四边形的问题探究

三角形中的内接正方形源于课本p38页的一道例题，本题主要考察了相似三角形的性质，即相似三角形的相似比等于高之比。由此我们可以通过变式，得到三角形中内接四边形的一系列问题。

通过以上探索我们可以发现，三角形内接正方形的边长与三角形的形状无关，其大小取决于三角形某边的长度以及该边上高的长度。

一、三角形内接正方形的简单应用

这3道练习题其实就是书上练习的简单应用，直接可以套用公式ah/(a+h)。

这道题由于解题背景是直角三角形，因此既可以用公式法来做，也可以利用三角比来做，但公式法做更为简便。

二、三角形内接正方形中的分类讨论问题

本题的难点在于点P的位置，然后利用相似三角形中的比例关系进行计算，同时本题还涉及了射影定理，在计算时要灵活运用。

本题的难点在于点确定PQ的位置，找到临界位置是关键，再利用45°角，用含t的代数式表示正方形的面积。

三、三角形内接正方形的面积最大值

本题的背景虽然是置于古题中，但是其本质在于求三角形内接正方形的面积最大值，因此根据题意画出图形：①当正方形的一边在直角边上的情况；②当正方形的一边在斜边上的情况。通过计算发现第一种情况下的边长最大，即此时正方形面积最大。

三角形内接矩形的面积及其最大值

三角形内接矩形的面积与矩形的长与宽有关。利用相似三角形的性质将矩形的长与宽建立联系，找出其数量关系，将面积表示成关于长的二次函数式，通过化成顶点式，解决最值问题。

一、三角形内接梯形的面积求法

三角形内接梯形的面积与“内接矩形”的求法是相似的，先利用相似三角形的性质用含有x的代数式将梯形的上底DG求出，再利用面积公式即可。

二、三角形内接梯形中的分类讨论问题

本题根据矩形OBEF的移动路径，得到了重叠部分面积可能为三角形，可能为梯形，利用其中的30°或60°角，用含t的代数式表示三角形或梯形的底和高，本题也可以过点P做高，用相似三角形的性质来做。