33解析几何解法技巧：如影随形-最值问题

第33招：如影随形 - 最值问题

如影随形:好像影子总是跟着身体一样。比喻两个人关系亲密,常在一起。在这里我们引申为用数学的观点来解释这个成语,比喻数学中的某个问题或某一类问题的出现,伴随着这类问题的解决方案往往是常见的一种或几种处理方式,往往就变成了处理这一类问题的通法,它们的关系就像影子跟身体的关系一样密切.

圆锥曲线的最值问题往往是高考重点难点,这类问题考查综合能力强,对学生的要求能力较高,往往成为学生丢分难点.此招旨在帮助学生更好的掌握这类问题的通法,提高解决此类问题的能力.

常见的解决圆锥曲线的最值问题的方法:

一、数形结合

常见的利用圆锥曲线的定义或性质和数形结合的思想解决圆锥曲线中距离型的最值问题.

二、代数法

1.得到要求的问题的表达式,然后利用换元法或基本不等式法即可求解得到最值,这里要特别注意基本不等式取得等号的条件是否成立.

2.将要求的问题建立成我们常见的目标函数,如二次函数等,可利用配方法即可求得函数的最值,从而达到解决问题的目的.

3.将要求的问题建立成的目标函数,再结合导数,利用导数判断函数的单调性,从而求得函数的最值,最终达到解决问题的目的.

(2020浙江21)如图,已知椭圆

,抛物线

,点

是椭圆

与抛物线

的交点,过点

的直线

交椭圆

于点B,交抛物线

于点

(

不同于

).

(1)若

,求抛物线

的焦点坐标;

(2)若存在不过原点的直线

使

为线段AB的中点,求

的最大值.B

答案：

见解析

解析：

(1)由

得

的焦点坐标是

.

(2)由题意可设直线

:

(

,

),点

.

将直线

的方程代入椭圆

:

得

,

所以点

的纵坐标

.

将直线

的方程代入抛物线

:

得

,

所以

,解得

,因此,

.

由

得

,

所以当

,

时,

取到最大值

.

1.(2020温州二模)已知点

是直线

上的动点,点

是抛物线

上的动点,设点

为线段

的中点,

为原点,则

的最小值为__________.

2.(2020山东模拟)已知椭圆

的左、右焦点分别为

、

,椭

圆

上的点

到

,

的距离之和为

.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)若点

(不与椭圆

的左、右端点重合)为椭圆

上的动点,

(

为坐标原点)上的点

满足

.

①求证:直线

,

斜率的乘积为定值;

②直线

与椭圆

交于

,

两点,直线

与椭圆

交于

,

两点,求

的最大值,并求此时直线

,

的方程.

3.(2020浙江金华十校联考)如图,已知抛物线

的焦点为

,过

的两条动直线

,

与抛物线交于

、

、

、

四点,直线

,

的斜率存在且分别是

,

.

(1)若直线

过点

,求直线

与

轴的交点坐标;

(2)若

,求四边形

面积的最小值.