数论：数学中的皇冠
数学其实是一门很高傲的学科，虽然有些复杂的字母、数字和等号的组合目前并没有实际的作用，但是每一位数学家都应当为其所研究的内容而自豪。
即便有些理论数学的内容有些清高，但是不影响数学在很大程度上已经成为研究其他学科的研究工具了（特别是物理学）。可以说，数学就如同众多学科的女神一样，人见人爱，让其他学科纷纷慕而求之。
但是在数学里面有一个领域，很少被其他学科青睐，更多地是给人们锻炼大脑用的。这就是最古老、最纯粹、最有活力、最初等却也是最深奥的数学领域，也就是被誉为数学皇后的数论。下面我们就来看看几个数论中简单的问题。
奇怪的质数
数字里面有一类很奇怪的数，叫做质数。质数也叫素数，是指只能被自己本身和1整除的数（又或者除了1之外，不能被比它更小的数整除）。
那么这样的数到底有多少个呢？换句话说，存不存在这样一个数，比这个数大的数都可以被比这个数小的数整除？这个问题是由质数的提出者欧几里得提出来的，并给出了答案和证明：质数是无限多的。
他的证明巧妙地利用了反证法，假设最大的质数是N，那么如果我们把所有质数都乘在一起再加一：
显然这个数不能被任何小于N的质数整除，因为如果用小于N的质数去除必然会得到余数1。因此这个数要么被比N大的质数整除，要么是比N大的质数。所以N肯定不是最大质数。
这个结论和假设不符，于是我们得知，不存在最大质数，也就是说质数是无穷多的。
我们找质数的最简单的办法是“筛选”。这个方法是由古希腊哲学家艾拉托斯特尼首次提出的。
在给定的范围内，分别找出2、3、5、7等质数的倍数，最后得到的都是质数。比如1-100区间内的质数是26个。那么除此之外有没有一个公式帮助我们找到质数呢？1640年法国数学家费马提出了一个公式：
当n=1，2，3，4的时候得到的值都是质数，但是n=5的时候这个数就不是质数了。更精确的公式n²-n+41，当n小于41的时候得到的都是质数，但是当n取41时，我们得到了41²。后来人们又做了许多尝试，到现在也没有找到一个公式可以确保得到质数。
哥德巴赫猜想
提到质数就不得不说著名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想被人熟知的原因不是因为它的重要性，而是一群数学票友总是时不时地自称自己证明了这个东西。
哥德巴赫是地主家不傻的儿子。他的家庭条件很好，他本人也受到了非常好的教育。良好的家庭条件使得他有足够的精力和资源去研究数学。他本人喜欢结交世界各地的数学家，哥德巴赫猜想就来自他与欧拉的书信往来。
哥德巴赫认为，对于任意的偶数都可以写成两个质数的和。简简单单的一句话却难倒了大批数学家们。对于简单的数，比如14=11+3，36=23+13确实是正确的，但是对于更复杂的数有没有反例呢？或者说这个猜想能不能被证明呢？
后来俄国的数学家维诺格拉多夫证明了任何偶数都能表示为不超过4个质数的和。4离2还差两个数，最后的目标才是最难达成的呀。
验证哥德巴赫猜想，需要引入一个新的概念：殆质数。就是由数量较少的质数相乘的数。
比如15=3*5，由两个质数相乘，就是一个殆质数。如果N是偶数，虽然证明N是两个质数的和比较困难，但是可以证明N是两个殆质数的和。那么哥德巴赫猜想可以写成“1+1”问题，也就是一个质数的乘积加一个质数的乘积，就是两个质数的和。
在哥德巴赫猜想问题上我国数学家们做出了杰出的贡献。1956年，王元证明了“3 + 4”，之后又证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。1962年，潘承洞证明了“1 + 5”，同时王元又证明了“1 + 4”。1966年，陈景润证明了 “1 + 2 ”,离哥德巴赫猜想仅仅一步之遥。
费马大定理
前面光说了和质数有关的内容，但是数论研究的可是整数。因此首当其冲的必然是费马大定理。费马不是职业的数学家，他是一个律师，但是他对于数学的成就使得他成为了职业的业余数学家。
费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期。那时候优秀的工匠都知道，如果三角形的三个边的比值是3:4:5，那么这个三角形一定有个直角，满足两边的平方和等于第三边的平方。
公元三世纪费马开始研究这个问题，他在想，除了3，4外是不是也有其他的两数平方等于第三个数的平方？他找到了好几组这样的数，但是如果对于不是平方而是更高阶的幂次方，有没有这样的数存在呢？
他在阅读丢番图的《算术》时，看到了：对于直角三角形的三个边有的关系。于是他在旁边写下了简短的笔记，提出了：“当整数n>2时，关于的方程没有正整数解。
“关于这个问题，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
但是这个定理的证明却没有那么顺利，以至于人们怀疑费马当时并没有证明这个猜想，或者他本人理解错了。
为此，有的人不惜出十万马克来悬赏证明方法。欧拉证明了n=3的情形，费马本人仅证明了n=4的情形，狄利克雷和勒让德分别独立证明了n=5的情形。最后费马大定理由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
（点击图片，和费马一起嗨！）
物不知数和商高定理
前面讲的都是国外的数学家提出的理论，其实我国在研究数论方面也有着悠久的历史。
在古代我国就已经开始研究早期的数论问题。著名的《九章算术》可以说是第一部自成体系的数学著作。除此之外还有我们要介绍的来自两本不同著作的两个定理；出自《孙子算经》的中国剩余定理和出自《周髀算经》的商高定理。
在《孙子算经》里面记录着这样一道题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”
原文的解答是：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之。得二百三十三，以二百一十减之，即得。
明朝的数学家程大位将解法编成了打油诗：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知。”这就是中国剩余定理解决线性同余方程组的应用。
另一个定理出自《周髀算经》。
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
短短的小故事给出了商高定理，也就是勾股定理的证明：将长为4，宽为3的矩形折叠剪下，将其中一个直角三角形环绕拼接成以对角线长度为边的正方形，面积就是矩形对角线的平方，同时也可以用原矩形长宽表示：
所以
a²+b²=c²
数字是从人的实践中发展起来的。
我相信第一个提出数字的人肯定想不到，本来应当是具体统计数量的工具背后却衍生出了许多晦涩难懂的抽象问题。
数论的魅力或许就在于此，人人都可以发现问题，提出观点，而每一个观点都有着值得深入思考的问题，而这些问题使得这门科目充满了活力。
写在最后
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