开普勒行星运动定律：证明 / 开普饭

1609年至1619年间，约翰内斯·开普勒利用第谷·布拉赫收集的数据推断出了决定行星围绕太阳运动的定律：

每一颗行星都围绕着太阳的一个焦点在椭圆轨道上运行。行星在它的轨道上运行，从太阳到行星的一条线将在相同的时间内扫过相同的区域（面积相同）。轨道周期的平方与椭圆轨道半长轴的长度成正比。为了纪念他，这三个定律被命名为开普勒定律。

这对当时的天文学家来说是一个惊喜，因为哥白尼模型中行星遵循完美的圆形轨道仍然被广泛相信。天文学和物理学之间的联系还没有建立起来，所以出于神秘和精神上的原因，人们认为行星轨道应该是圆的，因为圆被认为是完美的形状，而天空是神圣完美的领域。这个解释出现在1687年，当时艾萨克·牛顿出版了他的著名著作《自然哲学的数学原理》，这本书和其他许多伟大的发现一起，通过使用他的力和加速度理论推导出数学上的开普勒定律，将天文学和物理学联系了起来。

尽管《自然哲学的数学原理》值得一读，但它对于现代读者而言可能是一本非常难理解的书，因为它是在许多重要思想（例如矢量分析，函数的概念，微分方程的理论，甚至很少使用解析几何（在牛顿时代就已知道），并且只有在使用时才间接使用。因此，本文将以现代化的形式介绍牛顿的证明。

运动方程

我们将从控制行星运动的方程中推导出开普勒定律。我们从牛顿第二定律F=ma开始。力是：

在这个方程，G是万有引力常数，M是太阳质量的，m是轨道行星的质量，r是地球到太阳的距离，以及箭头符号是径向方向上的单位矢量。我们使用一个极坐标系统(r,θ)表示，太阳是在原点。我们将假定太阳受绕轨道运行的行星的引力而作的运动是可以忽略不计的。

这意味着行星运动是中心力运动的一个特定情况。中心力系统是力完全沿径向作用的任何机械系统，其大小只取决于到原点的距离：

现在我们写出极坐标系统中加速度的分量：

一个点在变量上表示变量对时间的导数，两个点表示二阶导数。现在我们从牛顿第二定律得到运动方程：

然后我们通过等式两边的矢量分量相等来得到运动方程。它们是：

如你所见，这个方程组是严重非线性的。试图明确地解出它们只是浪费时间，所以我们需要采取更明智的方法来找出这些方程试图告诉我们的东西。

我们要做的第一件事是把m代回第二个方程，注意：

但等式左边的数量等于零，这意味着mrθ与时间无关。您可以将mrθ看作是质量为m的质点在距原点距离r处具有角速度θ的角动量的表达式。这意味着角动量是守恒的。实际上，在中心力运动中始终保持角动量，因为力是相对于动量时间的导数，而在中心力运动中，力没有角分量。这也直接遵循Noether定理。

角动量方程是：

因此，我们可以重新写出运动方程：

就目前而言，这些方程对于我们来说仍然很难解决。但幸运的是，我们不必这样做。我们只想知道轨道的形状，所以我们要做的就是找到θ的r。作为执行此操作的第一步，让我们替换u = 1 / r。然后，我们使用链式规则将时间导数重新编写为相对于θ的导数：

然后代入角动量方程得到：

现在，我们将再次使用链式规则来获得r的二阶导数：

通过将用r和L表示的θ方程代入第一个方程，然后用刚发现的公式将r替换为1 / u和dr/dt，我们得到了路径的微分方程：

解决方案很简单，但是我们将把它留到下一节。

最后，注意力可以写成势能的负梯度：

这意味着力是守恒的，所以轨道运动的总能量不随时间变化。总能量由动能和势能之和给出：

我们现在准备推导开普勒定律。

开普勒第一定律

开普勒的第一定律说，行星轨道的形状是一个椭圆形，以太阳为中心。为了证明这一点，让我们从我们的微分方程开始，在中心力，反向平方运动的情况下，确定路径的形状：

由初等微分方程可得：

通过使用三角恒等式并替换u = 1 / r和α=L/GMm，我们可以将其重写为：

这是圆锥形截面的等式，其起点位于两个焦点之一。参数e是偏心率，θ是半长轴与x轴之间的角度。这些术语将在稍后解释。

严格来说，这足以考虑自我们假设太阳起源以来的第一条经证明的定律，但更多细节将有助于实际解释该结果。

圆锥截面是通过将圆锥与平面相交而获得的曲线，该曲线可以是椭圆，抛物线或双曲线：

偏心率决定了运动轨迹所遵循的圆锥曲线的类型。。如果e<1，则路径为封闭的椭圆轨道，如果e=0，则可能为圆形。如果e=1，粒子就会以抛物线路径脱离重力。如果是>1，粒子就会沿双曲路径逃逸。如果e是无限的，那么路径就是一条直线。

任何圆锥截面都定义了两条垂线，称为半长半短轴和两个点，称为焦点。对于一个椭圆，这些长轴和短轴通过中心：

点F 1和F 2被称为椭圆的焦点。它们总是位于长轴上，以使椭圆的中心是线段F 1 F 2的中点。半长和半短长度a和b是从椭圆中心到椭圆周长的最大和最小距离。偏心率是根据这些长度定义的。

焦点都与椭圆中心的距离为ae。长轴长度是a（1-e），转轴长度是a（1 + e）（请记住，对于椭圆来说e <0）。

对于双曲线来说，半长轴是两条支路顶点之间的直线，而每条支路的半短轴是从支路顶点到渐近线的垂线：

如前所述，焦点与双曲线对的“中心” 相距ae，可以将其视为顶点之间的线段的中点。偏心率定义为：

对于抛物线，情况有些不同。回忆一下抛物线是如何构造的。我们画一条直线，叫做准线，然后选择一个点，叫做焦点。抛物线是所有点的集合，这些点到焦点的距离等于它们到准线的垂直距离：

焦点在沿对称轴到顶点的1/4a处。这里的“主轴”是对称轴。

路径的形状是椭圆形，抛物线形还是双曲线形的条件是E分别为负，零或正。要了解原因，首先请注意动能严格为正，因为它是平方和，势能严格为负，请记住E的值不变。然后：

如果E <0，则该行星没有足够的动能从引力场的势阱中逸出，因此该行星与恒星的距离是有界的。满足r（θ）的方程式的唯一满足此要求的路径是椭圆形路径。如果E = 0，那么行星几乎没有足够的能量逃逸，因此几乎没有无法形成闭合轨道。偏心率的值几乎不能使闭合曲线变为1，因此E = 0表示我们有一个抛物线。如果能量是无限的，那么行星将立即在不经过任何相互作用的情况下立即飞过恒星，因此路径将是一条直线。因此，如果E在0到正无穷大之间，则曲线应位于抛物线和直线之间，并且唯一满足r（θ）方程的曲线为双曲线。开普勒第二定律

开普勒第二定律，也被称为“等面积定律”，告诉我们从太阳到行星的直线将在相同的时间内扫过相同的面积：