“K”型图的巧妙变式

将一道题进行变式改编有4个方向，即改变问题的条件、改变问题的结论、对调条件和结论或者同时改变条件和结论。改变问题的条件又可细化为改变考察对象和改变考察形式。

解析：本题的条件由Rt▲ABP与Rt▲PDC这两元素组成，而这两个元素之间的联系是它们的两条斜边互相垂直且相等。通过利用角的和差关系，可以得到两组角相等，从而得到▲ABP≌▲PDC。

模型：我们将这样的K型图标记为常见的基本图形，它能带来丰富的边角关系，并且借这个模型构造全等三角形或相似三角形的常用方法。

一、改变元素的构成

1. 增加元素

解析：本题以平面直角坐标系中一次函数图像为背景构造了原题中的K型图，利用三角形全等求线段BN的长度。不难看出本题的本质是在原题的基础上添加了函数这一元素，从而增强了问题的知识综合性，不仅考察了几何知识，还考察了代数运算，体现了数形结合的思想。

2. 减少元素

解析：本题保留了三个角相等，而减少了边相等这个元素，因此由A.A.S判定全等改为利用A.A.判定相似，由此我们可以发现，题目条件的减少，可以退而求次，由证明全等转化为证明相似。

3. 隐藏元素

解析：本题改编了原题的背景，但隐藏了原题中的两个全等三角形，需要自行构造，体现了将基本图形运用到未知问题中，助力问题解决。

二、改变元素的关联

解析：本题借助两个由公共顶点的正方形构造了原题中的K型图。随着E点位置的改变，K型图的组数和位置发生相应的变化。当点E恰好在直线上时，出现了和原题一致的K型图；当E分别在直线上方或下方时，通过添加辅助线构造两组K型图，由于K型图的位置不同，因此得到的数量关系也不同，这种加强元素关联的改编问题更加灵活。

三、改变考察对象

解析：本题虽然添加了动点的元素，但是通过添加辅助线仍旧可以构造K型图。这道题在原题的基础上增添了函数和等腰直角三角形等元素，并将考察对象改为求线段PB的长度。

四、改变考察形式

解析：本题考察点Q坐标，由于没有指明解题方向，增加了难度，但是看到图中呈现的等腰直角三角形，因此可以考虑构造K型图构造全等三角形求解。

五、对调条件和结论

解析：本题将原题中的条件作为结论，结论作为条件，实际运用了数学中的逆向思维。

六、同时改变条件和结论

解析：本题的条件和结论均发生了变化，但本质还是证明两个三角形全等，从而得出一个等腰直角三角形。这道改编题的目的是要构造并证明两对全等三角形才能求出∠DFE。

推广1：全等背景下的K型图

推广2：相似背景下的K型图

链接：与“K”型图(一线三等角相关的问题)

1、一线三等角模型中的简单应用

2、一线三等角模型在二次函数中的应用

3、2021浦东一模25题