初中数学:十问综合压轴题(第2问解析)

每次推送一个小问的解析方法,觉得有用的同学可以收集在自己的习题集中。

如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax²+c与y轴的交点为A,直线l:y=kx+2c与y轴交于点P,且与二次函数交于B、C两点,过点B、C分别向x轴作垂线,垂足分别为D、E,且BP=BD,点M为BC下方抛物线上一动点,

(1)求证:ac的值为定值;

(2)探究:BD·CE与DE²是否存在某种数量关系?若存在,请求出该数量关系;若不存在,请说明理由;

(3)将二次函数y=ax²+c经过平移后,得到的新二次函数对称轴为x=2,顶点为点E,且经过点A,当四边形OECP为正方形时(如图2),求出图中阴影部分的面积;

(4)当k=2、c=1时,求△MBC面积的最大值,并直接写出此时点M的坐标;

(5)在(4)条件下,过点M作y轴的平行线,交BC于点N,求线段MN的最大值;

(6)在(4)条件下,假设点Q为x轴上一动点,是否存在这样的点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

(7)当c=2时,若PC=2BP,且过点C作CF⊥BC,交x轴于点F,求点F的坐标;

(8)在(7)条件下,若点G为y轴上一点,当△GBC为等腰三角形时,请直接写出符合条件的点G的坐标;

(9)若在(7)条件下,坐标系内的⊙H与BD、BC、CE均相切,求出圆心H的坐标;

(10)证明:△HBC为直角三角形恒成立;

图1

图2

图为老师在写字板上所画,由于只能全局擦除,所以有些地方很不标准没有办法更改,图2为随手又画了一个草图,两个图都可以看清楚,有强迫症的同学可以自己画一个。后面的图形老师就没有再画了,想要解题的同学就自己添上几笔吧。

提示:

(1)是到顶点的距离和到定直线的距离相等的证明,所以同学们可以慢慢想;

(2)可以利用勾股定理去证明,方法相对会比较简单,但不容易想到;

(3)不规则的阴影面积要利用割补转换的方法去思考;

(4)典型的三角形面积最大值问题;

(5)典型的截线段长度最大值问题;

(6)直角三角形存在性的情况讨论,算是压轴题中比较复杂的一种;

(7)这一问就要动点脑筋,可能很多同学想不出来方法,没事,多想想;

(8)等腰三角形存在性的情况讨论,不过点在轴上,情况比较多,算是稍微复杂点吧;

(9)这一问是老师突然想到的,放在这里比较有趣,利用九年级现有知识绝对没问题;

(10)送分题;

解析:

(2)为什么老师提示用勾股定理呢?

根据题意可知,BD=BP,CE=CP,

那么BD+CE=BC,

那么两边同时进行平方就能得到BD·CE,

所以BD²+CE²+2BD·CE=BC²,

但是BD²、CE²、BC²要想办法转换到DE²去,

那么就容易联想到BC²与DE²如何扯上关系,

所以作辅助线,如图,

BF⊥CE于F,

则BF=DE,

那么CF=CE-BD,

同时△CBF是直角三角形,可以利用勾股定理将BC、DE扯在一块,

那么BC²=DE²+CF²=DE²+(CE-BD)²

所以BC²=DE²+CE²+BD²-2CE·BD,

结合BC²=BD²+CE²+2BD·CE,

可以得到DE²-2BD·CE=2BD·CE,

所以DE²=4BD·CE;

也就是说存在固定的数量关系;

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