八下第8讲 期中专题3 五大版块,10道小题,助力复习冲刺

写在前面

明天就是期中考试了,最近的模拟试卷还是暴露了很多问题,因此,本讲精选五大板块,10道易错的小题,助大家不再犯类似错误,不丢基本分.

一、菱形证明

菱形证明是很多同学的易错点,经常有同学喜欢证四条边相等,但这不是我推荐的,我们还是应该从平行四边形出发,借助对角线垂直,或邻边相等来证.当题目中出现翻折,或者有角平分线时,别忘了基本模型,平行+角平分,构造等腰.

1、如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.

求证:四边形ABEF是菱形.

分析:

本题少部分同学又想用四边相等来证,但BE=EF是无法证明的,利用平行加角平分,构造两个等腰三角形ABE,BAF,即可证明AB=BE=AF,从而得对边相等.

解答:

证明:

∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC

∴∠BEA=∠FAE

∴∠BEA=∠BAE,AB=BE

同理,AB=AF,∴AF=BE

又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形

∵AB=BE,∴平行四边形ABEF是菱形

2、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点 B和 D重合,点 A到点A1,折痕为 EF. 连接BE,求证:四边形 BFDE是菱形

分析:

本题很多同学证明十分繁琐,有证△A1DE≌△CDF的,有证△A1DE≌△ABE的,但用到了∠AEB=∠A1ED,这里是否是对顶角还需证明,最简单的方法,还是那熟悉的基本模型.

解答:

证明:

∵AD∥BC,∴∠1=∠2,

由折叠知,∠2=∠3,BF=DF,

∴∠1=∠3,∴ED=DF,

又∵ED∥BF,

∴四边形EBFD是平行四边形,

∵BF=DF,∴平行四边形EBFD是菱形.

变式:如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点P,O,Q,连接BP,EQ.求证四边形BPEQ是菱形.

解答:

证明:

∵PQ垂直平分BE,

∴QB=QE,OB=OE,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,

∴∠PEO=∠QBO,

在△BOQ与△EOP中,

∠PEO=∠QBO,

OB=OE,

∠POE=∠QOB.

∴△BOQ≌△EOP(ASA),

∴PE=QB,

又∵AD∥BC,

∴四边形BPEQ是平行四边形,

又∵QB=QE,

∴四边形BPEQ是菱形.

二、两解问题

两解问题在几何中,常见于动点问题,不给图的图形位置不确定问题.在代数中,常见于出现正负解均符合题意的情况.

3、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=12,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间 _________ 秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

分析:

这是动点问题与平行四边形存在性问题的结合型,对边已经平行,只需满足对边相等即可.注意点E为临界点,点Q可以在CE上,也可以在EB上.

解答:

4、在平行四边形ABCD中,AD=11,∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F,EF=3,则AB=__________.

分析:

本题是典型的易错题,极易漏解,我们应该想到,AE,DF必然相交,且夹角为90°,但交点可以在平行四边形内,也可在形外,故而要分类讨论.同时,这里面隐藏着一个常见的基本模型,平行+角平分,构造等腰,△ABE和△FCD是等腰三角形.

解答:

如图,当AE,DF交于形内,BE+CF-EF=11,2BE-3=11,BE=7,AB=7

如图,当AE,DF交于形外,BE+CF+EF=11,2BE+3=11,BE=4,AB=4

综上,AB=7或4

5、以正方形ABCD的一边CD为边,作等边△CDE,则∠AEB=_______°

分析:

:本题无图,需自己画图,自然要想到△CDE可以在正方形内,也可能在形外.

解答:

当点E在正方形ABCD外侧时,

∠CDE=60°,

∴∠ADE=150°,

∵AD=DE,

∴∠DAE=∠DEA=15°,

同理可知∠CEB=15°,

故∠ADE=30°;

当点E在正方形ABCD内侧时,

∵AD=DE=EC=DC=BC,

∵∠DEC=∠EDC=60°,

∠ADE=∠BCE=30°,

∴∠DAE=∠DEA=75°,

∴∠EAB=15°,

同理可得∠EBA=15°,

∴∠AEB=150°.

综上∠AEB=30°或150°.

变式:

变式:以正方形ABCD的一边CD为边,作等边△CDE,则∠AEC=_______°,∠AED=_______°

解答:

∠AEC=45°或135°,∠AED=15°或75°

分析:

解答:

解答:

6

三、概念辨析

概念不清会导致很多同学的选择,填空出现错误,如平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定,中点四边形,中心对称图形的概念等.

7、若顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形,则四边形必定是(      ).

A.菱形

B.对角线相互垂直的四边形

C.正方形

D.对角线相等的四边形

分析:

本题很多同学错选A,中点四边形的形状取决于原四边形的对角线.很多同学记得,

顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形,顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形.

但反之,顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形,原四边形对角线相等.

顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形,原四边形对角线互相垂直.

解答:

B

8、下列四个命题:①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形;④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有(      ).

A.1个          B.2个          C. 3个          D.4个

分析:

几何中的概念是很多同学的弱点,比如平行四边形的判定,除了课本所写的四种,其他的判定,基本可以从中心对称角度来考虑,或者连对角线,能否证明全等,一般反例会出现SSA.

对于中心对称图形,有些同学还是会和轴对称图形混淆,前者是旋转180°与自身重合,后者是对称轴两旁的部分翻折重合.

解答:

①项,一组对边平行,且一组对角相等,则可以判定另外一组对边也平行,所以该四边形是平行四边形.故①项为真命题.

②项,根据正方形的判定定理可知,对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.故②项为假命题.

③项,顺次连接矩形四边中点,根据“四边相等得到的四边形是菱形”可证得到的四边形是菱形.故③项为真命题.

④项,正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形.故④项为假命题.

B

四、最值一例

9、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值为______.

分析:

本题中,DE是矩形的一条对角线,要联想到矩形的对角线相等,自然联想到连接CP,问题即转化为求CP的最小值.

解答:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,

∴AB=10,

连接CP,

∵PD⊥AC,PE⊥CB,

∴∠DCE=∠PEC=90°,

四边形DPEC是矩形,

∴DE=CP,

根据垂线段最短可知,当CP⊥AB时, CP最小,

利用面积法,

∴DE=CP=6×8÷10=4.8

变式:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8, P为边BC上一动点,PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的的最小值是______.

解答:

2.4

五、计算问题

计算题虽然不是难题,却是很多粗心同学的失分环节.如先因式分解,能约分的不约分,导致最简公分母更复杂.带负号的整式的混合运算中,通分涉及变号.还有约分时,互为相反数的项,消去时要添负号,会忘掉.再有如加减时,还有同学与解方程去分母混淆.

分析:

本题中,第一项分子分母因式分解后可以先约分,最后是2,有同学不通分了.

解答:

分析:

本题中,-x+1这个整式作为整体,前面是符号,添上括号时要变号.最后约分时,对于平方项的分母,可以换成相反数的平方,结果不变.

解答:

1、带好必备的文具用品,考试时调整好心态,前3题慢慢做,整体把握好时间.

2、作图题用铅笔,格点中旋转90°,中心对称,看清要求.

3、分式计算千万别去分母了!!!

4、分式方程别忘了检验,把解代入最简公分母中,若是0,则是增根,无解.

5、分式方程应用题,选择一个量设未知数,则必从另外一个量中找相等关系建立方程,也千万不要忘了检验!!!

6、对于添加条件类的证明题,注意添加的就作为条件,去证明给出的结论.

7、遇到难题沉下心来思考,但不能耗费过多时间,总体时间分配如下,90分钟,其中选择填空最多35分钟,解答题45分钟,最后留10分钟检查,思考难题.

END

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