中考数学：几何图形线段关系-稍高难度证明题

这道题时学生做题时遇到的，老师顺手弄到这里当做推送内容。

（1）第一问比较简单，根据∠PAC=α，可以得到∠PAM=45°-α，而∠AMQ=90°-∠PAM=45°+α；

（2）第二问的难度要大一些，毕竟是中考倒数第二题。

MB和PQ，八竿子打不着，要找它们的等式关系，而且题中也没有线段长度，更没有什么中位线存在，而且PQ和MB的长度是可以存在很大差值的，所以也不会是线段加减关系，那么就只剩下倍数关系了。

而题中明确没有长度，也没有中位线和比例存在，只要一个等腰直角三角形，所以唯一的指向就只有PQ和MB可以组成等腰直角三角形。既然有了方向，就可以直接试一试了，

根据题中CQ=PC，如果连接AQ，那么就能得到QA=AP，接下来又该如何呢？

我们不妨想一想，第一问问的问题好像无厘头似的，到底有什么用呢？

45°+α，∠AQM不也是吗？∠QAC=α，∠CAM=45°，所以∠AQM=∠AMQ，

所以QA=AM，

接下来就要线段拼接形成图形了，

BQ比AC多出一截长度QC，那么我们不妨给AC也延长一个QC长度出来，如图，

我们延长AC到D，使CD=QC，并且连接QD，

此刻再观察，QA=AM，AD=AB，而∠QAD=α，∠BQM也可以算出来是α，

所以三角形全等，

△AQD≌△QMB，

得到QD=MB，所以只需要找到QD和PQ的关系即可，

△QCD我们知道是等腰直角，所以如果接下来连接PD的话又能得到△PQD是等腰直角，那么PQ和QD的关系就有了，

再将QD替换为MB即可；

整道题就这样解决了，关键点在于能够想到利用两个线段构造一个等腰直角三角形出来，所以同学们要好好掌握一下线段拼接构造三角形的方法。