数学究竟是什么？数学为什么令人头痛
在这一节里，我打算写些关于数学的总概念的话，不过我踌躇了许久，这些话写出来究竟好不好？现在虽然写了，但我并不确定写出来比不写好一些。其实呢，关于数学的园地这个题目，要动手写，要这样写，就是到了快要完结的现在，我仍然怀疑。
第一个疑问是：谁要看这样的东西？对于对数学感兴趣的朋友们，自己走到数学的园地里去观赏，无论怎样，得到的一定比看完这篇粗枝大叶的文字多。至于对于数学没趣味的朋友们,它却己经煞风景了，不是吗？假如我写的是甲男士遇到乙女士，怎样倾心，怎样拜倒，怎样追求，无论结果是好是坏，总可惹得一些人的心痒起来；倘若我写的是一位英雄的故事，他怎样热心救同胞，怎样忠于主义，怎样奋斗,无论他成功或失败，也可以引起一些人的赞赏、羡慕……数学无论如何总是叫人头痛的东西，谁会喜欢它？
第二个疑问：这样的写法，会不会反而给许多人一些似是而非的概念？
关于第一个疑问，我不想开口再说什么，只有这第二个疑问，却好像应该回应一下，这才对得起花费几个小时来看这篇文字的朋友们！
数学是什么？它究竟是什么？
真要回答这个问题吗？对不住，你若希望得到的是一个完全合于逻辑的条件的答案，我却只好敬谢不敏。说句老实话，只要有人回答得上来，我也要五体投地去请教他，而且将他的回答永远刻在我的肺腑里。那么，这里还能够说什么呢？我只想写几个别人的答案出来，这虽然不能使朋友们满意，但从它们也可以知道一点儿数学的园地的轮廓吧！
远在亚里士多德以前的一个回答，也是所有的回答当中最通俗的一个,它是这样说的：
“数学是计量的科学。"
朋友，这个回答你能够满足吗？什么叫作量？怎样去计算它？假如我们说，测量和统计都是计量的科学，这大概不会有什么毛病吧！虽然，它们的最后目的并不是只要求出一个量的关系来，但就它们的手段说，对于量的计算比较直接些。因此，到了孔德(AugusteComte)就将它改变了一下：
“数学是间接计量的科学。"
他要这样加以改变，并不是为了担心和测量、统计这些相混。实在有许多量是无法直接测定或计算的，比如天空中闪动的星星的距离和大小，比如原子的距离和大小，一个大得不堪，一个小得可怜，我们这些笨脚笨手的人，是没法直接去测量它们的。
这个回答虽己进步了一点儿，它就能令我们满意吗？量是什么东西，这还是要解释的。先不去管它，我们姑且照常识的说法，给量一个定义。不过，就是这样，到了近代，数学的园地里增加了一些稀奇古怪的建筑，它也不能包括进去了。在那广阔的园地里面，有些新的亭楼、树立着的匾额，什么群论咧、投影几何咧、数论咧、逻辑的代数咧……这些都和量绝缘。
孔德的回答出了漏洞，于是又有许多人来加以修正，这要一个个地列
举出来，当然不可能，随便举一个,即如皮尔士(Peirce)：
“数学是引出必要的结论的科学。"
他的这个回答，自然包括得宽广了些，但是也还有问题，所谓''必要的结论”是一个什么玩意儿呢？这五个字这样排在一·起，它的意思就非加以解释不可了。然而他究竟怎样解释法，照他的解释能不能说明数学究竟是什么，这谁也不知道。
还有，从前数学的园地里面，都只是尽量地在各个院落中增加建筑、培植花木，即或另辟院落，也是向着前面开阔的地方去动手。近来却有些工匠异想天开地在后面背阴的地方要开辟出一条大道通到相邻的逻辑的园地去。他们努力的结果，自然己有相当的成绩，但把一座数学的园地弄得五花八门，要解释它就更困难了。最终，对于我们所期待的问题的回答，回答的越多，越“糊涂”。罗素(Russell)更巧妙，简直像开玩笑一样,他说：
"Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.”
我不翻译这句话了，假如你真要我翻译，那我想这样译法：“有人来问我，连我也不知。”你应该知道这两句话的来历吧！
数学究竟是什么？我想要列举出来的回答，只有这样多。不是越说越情恍，越说越不像样了吗？是的！虽不能简单地说明它，也就说明了它的一大半了！研究科学的人最喜欢给他所研究的东西下一个定义，所以冠冕堂皇的科学书，翻开第一页第一行就是定义，而且这些定义也差不多有一定的形式，用中国话说便是“某某者研究”什么什么“的科学”。若要写个"洋文”调，那便是“XisthesciencewhichY”。这一来，无论哪个人花了几毛钱或几块钱将那本书买到手，翻开一看非常高兴，用不了五分钟，便可将书放到箱子里去，说起那一门的东西，自己也就可以回答出它讲的是什么。
然而，这简直和卖骨药的广告没什么区别。你只要把那本书读完，你就可以看出来，第一页第一行的定义简直是前几年限制兑现的中交票 L 若是你多跑些地方，你还可以知道有些中、交两行的分行也拒绝收用那钞票。
朋友！这不是什么毛病，你不要失望！假如有一门科学，己经可以给它下一个悬诸国门不能增损一字的定义，也就算完事了。这正和一个人可以被别人替他写享年几十几岁一般，即使就是享年一百二十岁，他总归己经躺在棺材里了。每天还能吃饭、睡觉的人，不能说他享年若干岁。每时每刻进步不止的科学，也没有人能说明它究竟是什么东西！越是身心健全的人，越难推定他的命运。越是发展旺盛的科学，越难有确定的定义。
不过，我们将这正面丢开暂且不谈，调转方向探究，数学的性质好像有一点是非常特别的，就是喜欢用符号。有 0,1.2……9 十个符号，以及“X”“：，，“=，，五个符号，便能记通常的数。计算它们，仅仅用加、减、乘、除，计算不方便。我们又画一条线来隔开两个数，说一个是分母，一个是分子，这一来就有了分数的计算。接连下去，在运算方面我们又有了比例的符号，在记数方面我们又有了方指数和根指数。关于数的记法，这还是只是就算术说。到了代数，你知道的符号就更多了。到了微积分，其实也不过多几个符号而己。
数学之所以叫人头痛，大概就是这些符号在作怪。你把它看得活动，那它真活动，x 在这个方程式代表的是人的年龄，在那个方程式就会代表乌龟的脑袋。你要把它看得呆，那它真够呆，对着它看三天三夜，x 还只是 x,你解不出那方程式，它不会来帮你的忙，也许还在暗中笑你蠢。
所谓数学家，依我说，就是一些能够支使符号的人物。他们写在数学书上的东西，说高深，自然是高深，真有些是不容易懂的，但假如不许他们用符号，他们就只好一筹莫展了！
所以数学这个东西，真要说得透彻些，离开了符号，简直没有办法说清楚。你初学代数的时候，总有些日子，对于 a，b,c,x,y,z 是想不通的，觉得它们和你用惯的 1，公 3,4……有些区别。自然，说它们完全一样，是有点儿靠不住的，你去买白菜，说要 x 斤，别人只好鼓起两只眼睛瞪着你。但你用惯了，做起题来，也就不会感到它们有什么差别了。
数学就是这么一回事，这篇文章里虽然尽量避去符号的运用，但只是为了那些不喜欢或是看不惯符号的朋友说一些数学的概念，所以有些非用符号不可的东西，只好不说了！
朋友！你若高兴，想在数学的园地里玩耍的话,请你多多练习使用符号的能力。你见到一个人直立着，两手向左右平伸，不要联想到那是钉死耶稣的十字架，你就想象他的两臂恰好是水平线，他的身体恰好是垂直线。假如碰巧有一只苍蝇从他的耳边斜飞到他的手上，那更好，你就想象它是在那里运动的一点，它飞过的路线，便是一条曲线。这条曲线表示一个函数，可以求它的诱导函数，又可以求这诱导函数的诱导函数，这就是苍蝇飞行的速度和加速度了！