八上第20讲 《一次函数》必考知识点(中)

写在前面

本讲,我们重点研究一次函数的图像问题,帮助同学们解决一些典型问题.

一、知识梳理

一、图像

3、一次函数的图像的性质:

k确定了图像的变化趋势,

当k>0时,从左到右看,函数图像呈上升趋势;

当k<0时,从左到右看,函数图像呈下降趋势;

b确定了图像与y轴的交点,

b>0,图像交y轴正半轴;

b<0,图像交y轴负半轴.

对于两条不同的直线,

当k相同,b不同时,两直线平行.

当k不同,b相同时,两直线都经过y轴上同一个点(0,b).

二、图像的平移

图像的上下,左右平移,k不变.

通法:

上下平移,抓与y轴交点坐标.

左右平移,抓与x轴交点坐标.

二、典型例题

一、函数图像相关

例1:

已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y=bx+a的图象经过_____象限.

分析:

一次函数y=ax+b经过一、二、四象限,画出草图,可知函数值y随x的增大而减小,因而a<0;图象与y轴的正半轴相交,则b>0,再画出y=bx+a图像的草图,一目了然.

解答:

例2:

已知一次函数y=ax+b的图象如图所示,请在同一坐标系内画出y=-bx-a的大致图像.

分析:

一次函数y=ax+b经过一、二、三象限,可知函数值y随x的增大而增大,因而a>0;图象与y轴的正半轴相交,则b>0,则y=-bx-a中,-b<0,y随x的增大而减小,图像从左到右是下降趋势,-a<0,图像与y轴的负半轴相交.

解答:

例3:

已知一次函数y=(2a-3)x-(4+b).

根据下列条件,分别确定a、b的取值范围:

(1)函数y随x的增大而增大;

(2)函数图象与y轴的交点在x轴下方;

(3)函数图象经过第二、三、四象限.

(4)函数图象经过原点.

分析:

首先,要明确题目中的k和b,k=2a-3,b=-(4+b).

(1)显然k>0;

(2)显然b<0,但要注意k≠0;

(3)画出草图,确定k和b的正负性.

(4)显然b=0,但仍要注意k≠0;

解答:

例4:

已知点(-4,a),(2,b)都在下列一次函数的图像上,则a与b的大小关系是______.

分析:

对于(1),我们可以将两个点坐标代入,分别求出a,b的值比较,但我们也可以利用k为负,确定增减性,从而比较大小.(2)(3)则均只可以通过k的正负性来比较大小.

解答:

例5:

分析:

到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值,

到y轴的距离是点的横坐标的绝对值,

建立两个绝对值方程分别求解即可.

解答:

例6:

分析:

由于一次函数解析式确定,则增减性确定,本题中k为负,则y随x增大而减小,则分别对自变量取值范围的最大最小值确定y对应的最大最小值.

解答:

例7:

已知y与x满足一次函数关系,当2≤x≤3时,-2≤y≤4,求y与x的函数关系式.

分析:

本题中,一次函数解析式未确定,因此有两种可能,一种是上升趋势,一种是下降趋势,那么点坐标代入时要注意.

解答:

二、图像平移相关

例1:

将直线y=2x-3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为_____.

分析:

本题中,一次函数解析式未确定,因此有两种可能,一种是上升趋势,一种是下降趋势,那么点坐标代入时要注意.(抱歉,分析贴错了,详解请查看底部留言)

解答:

例2:

分析:

本题若用口诀,可能在左右平移时会出错,我们不妨抓住函数图像与坐标轴的交点坐标的变化来考虑,同时看清楚是哪个图像在平移.

解答:

例3:

分析:

(1)显然,关注原图像与坐标轴的交点,分别左右平移或上下平移即可.

(2)两种思路,一种先求出平移后的解析式,然后确定与坐标轴的交点坐标,关注原图像的交点坐标是怎样变化的.还有一种,先求出横坐标相同时,原函数图像对应的纵坐标,此时关注上下平移.再求出纵坐标相同时,原函数图像对应的横坐标,此时关注左右平移.

解答:

例4:

分析:

解答:

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