八下第1讲 旋转、中心对称、平四概念全梳理

写在前面

转眼间,新冠肺炎肆虐神州大地已近一个月,70000多人确诊,1700多人不幸离世,这些数字的不断增长,让我们悲痛.但无数医护工作者,各行各业的志愿者的前赴后继,团结奋斗,打响的无声“战疫”,也让治愈数字不断上升,给我们希望,2020的美好春天终会到来!

今年寒假,因延期开学,“停课不停学”的口号火了,同学们足不出户,就能获得线上的优质教育,八年级的同学们,过去一周的学习,你收获如何呢?本讲,我们就对第一周的内容做个复习归纳吧.

一、知识梳理

1、图形的旋转

定义:在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动叫做图形的旋转.

三要素:旋转中心,旋转角,旋转方向.

2、旋转的性质

(1)旋转前后的图形全等.

(2)对应点到旋转中心的距离相等.

(3)两组对应点分别与旋转中心连线,所成的角(旋转角)相等.

3、中心对称

定义:一个图形绕某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称.

4、中心对称的性质

(1)具有图形旋转的一切性质.

(2)成中心对称的两个图形,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分.

5、中心对称与轴对称的区别联系

6、中心对称图形

定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.

7、中心对称与中心对称图形的区别联系

8、平行四边形

9、平行四边形性质

10、平行四边形判定方法

(1)两组对边分别平行.

(2)一组对边平行且相等.

(3)两组对边分别相等.

(4)对角线互相平分.

二、典例剖析

例1:

若两个图形成中心对称,则下列说法:

①对称点的连线必过对称中心;

②这两个图形的形状和大小完全相同;

③这两个图形的对应线段一定互相平行;

④将一个图形围绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合,

其中正确的有________.

分析:

本题主要考查了中心对称的概念及性质,强调的是两个图形,注意,若对称中心在图形的某一条边上,则对应线段在同一直线上.

解答:

对于①,对称点的连线必然经过对称中心,正确;

对于②,如果两个图形成中心对称,那么它们的大小和形状不发生改变,只是旋转了180°,故正确;

对于③,这两个图形的对应线段除了平行,还有可能在同一直线上,故错误;

对于④,将一个图形围绕对称中心旋转180°后必与另一个图形重合,而不是任意角度,故此说法错误.

综上,①②正确;

例2:

如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为______.

分析:

根据旋转的性质和四边形的内角和是360°,可以求得∠CAD的度数,本题得以解决.

解答:

由题意得,∠CBD=α,∠ACB=∠EDB,

∵∠EDB+∠ADB=180°,∴∠ADB+∠ACB=180°,

∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°,∠CBD=α,

∴∠CAD=180°−α.

例3:

分析:

(1)如图,连接BB′,根据旋转的性质得AB=AB′,∠BAB′=60°,可判断△ABB′是等边三角形,则AB=BB′,而C′B′=C′A′,可判断BC′与AB′的位置关系;

(2)延长BC′交AB′于D,如图,在Rt△AC′B′中,利用等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出C′D,再根据等边三角形的性质,求得BD长,然后计算BD-C′D即可.

解答:

例4:

分析:

解答:

例5:

图1、图2均为7×6的正方形网格,点A、B、C在格点上.

(1)在图1中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形.

(2)在图2中确定格点E,并画出以A、B、C、E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.

分析:

(1)根据轴对称的性质,我们可以先画对称轴,再画出轴对称图形.

(2)根据中心对称的性质,我们可以先确定对称中心,再画出中心对称图形.

解答:

例6:

在下面给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是_______.

①AB=BC,AD=CD;

②AB∥CD,AD=BC;

③AB∥CD,AB=CD;

④∠A=∠B,∠C=∠D;

⑤AB∥CD,AD∥BC;

⑥AB=CD,AD=BC;

⑦AO=CO,BO=DO;

分析:

平行四边形的判定定理共有四条,但不代表只有这四种,我们要结合已知条件转换,看看能不能转化为常见的四种.有时,还要根据条件,尝试画画反例.

解答:

①不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为筝形;

②不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为等腰梯形;

③能判定四边形ABCD是平行四边形,一组对边平行且相等;

④不能判定四边形ABCD是平行四边形,反例为等腰梯形;

⑤能判定四边形ABCD是平行四边形,两组对边分别平行;

⑥能判定四边形ABCD是平行四边形,两组对边分别相等;

⑦能判定四边形ABCD是平行四边形,对角线互相平分;

例7:

分析:

先利用平行四边形的性质,可知AB=CD,BC=AD,AD+CD=9,再证明△AEO≌△CFO,可得AE=CF,OE=OF,即可求出四边形的周长.

解答:

例8:

在平面直角坐标系中,已知三点坐标A(-2,1),B(-1,-1),C(0,2),若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是________.

分析:

拿到这类题目,我们可在草稿纸上随意画出A、B、C三个点的位置,再作出点D的三种位置.显然,过给定的三个点A、B、C,作对边的平行线,三条平行线的交点即为点D的三个位置.

只要抓住一个点,其与另外三个点的连线,都能作为对角线,以对角线AD为例,结合平行四边形的性质,对角线互相平分,我们不难发现,对角线AD和BC 的交点,既是AD的中点,又必然是BC的中点,运用中点公式坐标,不难得到交点坐标是

我们可以设第四个点的坐标为(x,y),从已知的3个点中选定一个点作为对角顶点,利用这三个公式,联立方程组即可求解,无需画图,不易漏解.

解答:

例9:

如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.

(1)求证:BE=CD;

(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

分析:

(1)由平行加角平分线构造等腰三角形,可得∠BAE=∠BEA,即AB=BE,再结合平行四边形对边相等即可得证;

(2)易证△ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,再证△ADF≌△ECF,得出△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积,即可得出结果.

解答:

例10:

如图,分别以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边三角形:△ABD,△BCE,△ACF.

探索AF、DE关系,并说明理由.

分析:

显然,探究两条边的关系,要从数量关系和位置关系入手,AF=AC,则考虑证明DE=AC,不难发现△ABC和△DBE全等,同理,可证△FEC和△ABC全等,从而AB=EF=AD,即可证明四边形ADEF为平行四边形,问题也迎刃而解.

解答:

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