八下第1讲 旋转、中心对称、平四概念全梳理
● 写在前面
转眼间，新冠肺炎肆虐神州大地已近一个月，70000多人确诊，1700多人不幸离世，这些数字的不断增长，让我们悲痛．但无数医护工作者，各行各业的志愿者的前赴后继，团结奋斗，打响的无声“战疫”，也让治愈数字不断上升，给我们希望，2020的美好春天终会到来！
今年寒假，因延期开学，“停课不停学”的口号火了，同学们足不出户，就能获得线上的优质教育，八年级的同学们，过去一周的学习，你收获如何呢?本讲，我们就对第一周的内容做个复习归纳吧．
一、知识梳理
1、图形的旋转
定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转．
三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向．
2、旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等．
(2)对应点到旋转中心的距离相等．
(3)两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角(旋转角)相等．
3、中心对称
定义：一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．
4、中心对称的性质
(1)具有图形旋转的一切性质．
(2)成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
5、中心对称与轴对称的区别联系
6、中心对称图形
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
7、中心对称与中心对称图形的区别联系
8、平行四边形
9、平行四边形性质
10、平行四边形判定方法
(1)两组对边分别平行．
(2)一组对边平行且相等．
(3)两组对边分别相等．
(4)对角线互相平分．
二、典例剖析
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例1： 若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定互相平行； ④将一个图形围绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合， 其中正确的有________． 分析： 本题主要考查了中心对称的概念及性质，强调的是两个图形，注意，若对称中心在图形的某一条边上，则对应线段在同一直线上． 解答： 对于①，对称点的连线必然经过对称中心，正确； 对于②，如果两个图形成中心对称，那么它们的大小和形状不发生改变，只是旋转了180°，故正确； 对于③，这两个图形的对应线段除了平行，还有可能在同一直线上，故错误； 对于④，将一个图形围绕对称中心旋转180°后必与另一个图形重合，而不是任意角度，故此说法错误. 综上，①②正确； |
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例2： 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为______． 分析： 根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决． 解答： 由题意得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB， ∵∠EDB＋∠ADB＝180°，∴∠ADB＋∠ACB＝180°， ∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α， ∴∠CAD＝180°−α． |
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例3： 分析： (1)如图，连接BB′，根据旋转的性质得AB＝AB′，∠BAB′＝60°，可判断△ABB′是等边三角形，则AB＝BB′，而C′B′＝C′A′，可判断BC′与AB′的位置关系； (2)延长BC′交AB′于D，如图，在Rt△AC′B′中，利用等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出C′D，再根据等边三角形的性质，求得BD长，然后计算BD－C′D即可． 解答： |
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例4： 分析： 解答： |
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例5： 图1、图2均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上． (1)在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形． (2)在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 分析： (1)根据轴对称的性质，我们可以先画对称轴，再画出轴对称图形． (2)根据中心对称的性质，我们可以先确定对称中心，再画出中心对称图形． 解答： |
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例6： 在下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是_______． ①AB＝BC，AD＝CD； ②AB∥CD，AD＝BC； ③AB∥CD，AB＝CD； ④∠A＝∠B，∠C＝∠D； ⑤AB∥CD，AD∥BC； ⑥AB＝CD，AD＝BC； ⑦AO＝CO，BO＝DO； 分析： 平行四边形的判定定理共有四条，但不代表只有这四种，我们要结合已知条件转换，看看能不能转化为常见的四种．有时，还要根据条件，尝试画画反例． 解答： ①不能判定四边形ABCD是平行四边形，反例为筝形； ②不能判定四边形ABCD是平行四边形，反例为等腰梯形； ③能判定四边形ABCD是平行四边形，一组对边平行且相等； ④不能判定四边形ABCD是平行四边形，反例为等腰梯形； ⑤能判定四边形ABCD是平行四边形，两组对边分别平行； ⑥能判定四边形ABCD是平行四边形，两组对边分别相等； ⑦能判定四边形ABCD是平行四边形，对角线互相平分； |
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例7： 分析： 先利用平行四边形的性质，可知AB＝CD，BC＝AD，AD＋CD＝9，再证明△AEO≌△CFO，可得AE＝CF，OE＝OF，即可求出四边形的周长． 解答： |
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例8： 在平面直角坐标系中，已知三点坐标A(－2，1)，B(－1，－1)，C(0，2)，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 分析： 拿到这类题目，我们可在草稿纸上随意画出A、B、C三个点的位置，再作出点D的三种位置．显然，过给定的三个点A、B、C，作对边的平行线，三条平行线的交点即为点D的三个位置． 只要抓住一个点，其与另外三个点的连线，都能作为对角线，以对角线AD为例，结合平行四边形的性质，对角线互相平分，我们不难发现，对角线AD和BC 的交点，既是AD的中点，又必然是BC的中点，运用中点公式坐标，不难得到交点坐标是 我们可以设第四个点的坐标为(x，y)，从已知的3个点中选定一个点作为对角顶点，利用这三个公式，联立方程组即可求解，无需画图，不易漏解． 解答： |
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例9： 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 分析： (1)由平行加角平分线构造等腰三角形，可得∠BAE＝∠BEA，即AB＝BE，再结合平行四边形对边相等即可得证； (2)易证△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4，AF＝EF＝2，由勾股定理求出BF，再证△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积＝△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积，即可得出结果． 解答： |
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例10： 如图，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF． 探索AF、DE关系，并说明理由． 分析： 显然，探究两条边的关系，要从数量关系和位置关系入手，AF＝AC，则考虑证明DE＝AC，不难发现△ABC和△DBE全等，同理，可证△FEC和△ABC全等，从而AB＝EF＝AD，即可证明四边形ADEF为平行四边形，问题也迎刃而解． 解答： |
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