第20讲 期末专题复习5 《幂的运算 整式乘法》易错题整理
一、幂的运算的常考常错题
例1:(1)a3+a3 (2)a3·a3
分析:这两题是一些同学经常容易混淆的,前者是加法,我们并没有讲过同底数幂的加法,但由于字母相同,相同字母的指数也相同,因此是合并同类项,系数相加,字母及指数不变.而后者才是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加.
解答:(1)a3+a3=2a3
(2)a3·a3=a6
例2:(1) (-a3)2 (2) (-a2)3
分析:这两题的符号是同学们最容易出错的,我们不妨这样理解,不管a的正负性,就将括号内的底数看作是负数,根据负数的奇次幂为负,偶次幂为正,确定符号.
解答:(1) (-a3)2 = a6
(2) (-a2)3 =-a6
例3: (-a-b)5÷(a+b)
错解:= (a+b)5÷(a+b)
= (a+b)4
= a4+b4
分析:造成错解的原因,第一,没有按照互为相反数的奇次幂互为相反数来解题,第二,画蛇添足,多项式(a+b) n,当n≥3时,初一没有展开的要求,具体展开方式,可以自学杨辉三角,或者高二数学《二项式定理》内容.
解答:= [-(a+b)]5÷(a+b)
= -(a+b)5÷(a+b)
= -(a+b)5-1
= -(a+b)4
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分析:这两题属于基本题,却经常有同学做错.前者经常有同学会直接无视指数中的负号,另外教科书中,对于非零数的负整指数幂的计算法则是这么规定的:
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即一个非零数的-n(n是正整数)次幂,等于这个数倒数的正n次幂.对于科学记数法,依旧写成a×10n(1<a≤10)形式,对于小于1的数,指数为负,原数左边第一个不是0的数字前共有几个0,写成科学记数法后,指数就是负几.
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二、幂的运算逆运算问题
例5:am=6,an=3,求:am+2n, a2m-3n
分析:解决这类问题,我们要逆用幂的运算法则,同时,遵循一个重要的原则:幂的运算,总比指数运算高一级.指数上最后是加法,幂的运算必然是乘法,指数上是减法,幂的运算必然是除法,指数上是乘法,幂的运算必为乘方.
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例6:若x+2y-3=0,则2x·4y=____
分析:本题中,要求的两个幂的乘积,底数不同,因此第一步要换底,由4换成以2为底.
解答:2x·4y
=2x·22y
=2x+2y
=23=8
例7:9n+1 - 32n=72,求n
分析:本题依旧要换底,但是,显然换成以9为底更合适,最后一步幂的运算是减法,则想到应该要考虑合并同类项,逆用同底数幂的乘法.
解答:9n+1 - 32n
=9n+1 - 9n
=9·9n - 9n
=8·9n
=72,
∴n=1.
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三、整式乘法的系数问题
例8:若-(2x)3(x2-ax+3)的计算结果中,x的四次项系数为8,求a的值.
分析:本题若直接计算,则展开三项,如果我们发现,这里的四次项是由前面的三次单项式与多项式中的一次项相乘,那么,就只需乘一次即可.但一定要注意,带符号运算.
解答:-(2x)3(-ax)
=-8x3(-ax)
=8ax4,
∴8a=8,a=1
例9:若多项式x2+mx+8与多项式x2-3x+n相乘的积中,不含x2,x3项,求mn
分析:同上一题类似,我们要考虑x2项是怎么来的,应该是一次项×一次项,二次项×常数项,而x3项呢,应该是一次项×二次项,三次项×常数项,在解题时,我们可以尝试用箭头连接需要的两项,避免出错.而不含这些项,说明系数为0.
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四、完全平方公式知二推二问题
完全平方公式是初一阶段的一个重点,它可以考查配方,可以考查简便运算,而且又是与初三二次函数的基础.我们将完全平方公式进行解剖,可以得到四个重要的代数式,而且,我们只要知道其中的两个,就能推出另外两个.即知二推二.
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例10:若a-b=1,ab=2,求a+b
分析:我们的知二推二中,知道的都是二次项,而给出的a-b是一次项,因此,要想到先去完全平方.
解答:(a+b)2=(a-b)2+4ab
=1+8=9
∴a+b=±3
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写在后面:因为临近期末,所以本讲不再设置练习,下一讲开始,我们开设五讲期末冲刺练习,每讲五道题,认真分析,希望对同学们的期末有帮助!
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附第19讲练习及答案:
1.因式分解:
(1) x(x-y)2-2(y-x)3
= x(x-y)2+2(x-y)3
= (x-y)2[x+2(x-y)]
= (x-y)2(3x-2y)
(2) 81x4-1
=(9x2+1)(9x2-1)
=(9x2+1) (3x+1) (3x-1)
(3) x4-8x2y2+16y4
=(x2-4y2)2
=(x+2y)2(x-2y)2
2.当a=____时,-3a2+12a+17有最____值是______.
解:-3a2+12a+17
=-3(a2-4a+4-4)+17
=-3(a-2)2+29
当a=2时,代数式有最大值为29.
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