24数列解法第三招：分久必合-裂项相消法求和

数列解法第三招：分久必合-裂项相消法求和

裂项相消法是常见的用于数列求和的方法之一,“裂项相消”,顾名思义,裂通项,将数列的每一项裂成两项相减,再把裂开的项求和相消去.

例如:

,我们可将通项裂开成

,这样,数列

的前

项和

.

常见的数列裂项公式:

(1)等差型:

,

为各项不为零,公差为

的等差数列

(2)分式型:

(3)根号型:

(4)指数型:

,例:

(5)对数型:

,例:

(6)三角函数型:

(7)阶乘型:

(2017全国Ⅲ卷)设数列

满足

.

(1)求

的通项公式;

(2)求数列

的前

项和.

解：(1)由题知

①,

当

时,

②,

①-②得:

,则

;

当

时,

,满足

,

故数列

的通项公式为

.

(2)令

,由(1)可得

,

设

的前

项和为

,则

,

故数列

的前

项和为

.

1.(2020深圳模拟)在公差为

的等差数列

中,

,

,

,且

.

(1) 求

的通项公式;

(2)若

,

,

成等比数列,求数列

的前

项和

.

2.已知等差数列

满足

,前

项的和

.

(1)求数列

的通项公式;

(2)设

,求数列

的前

项和

.

裂项相消法是常见的用于数列求和的方法之一,“裂项相消”,顾名思义,裂通项,将数列的每一项裂成两项相减,再把裂开的项求和相消去.