2008高考数学 / 开普饭

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）函数的定义域为（　　）

A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}

2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）设a∈R，且（a+i）²i为正实数，则a=（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

5．（5分）已知等差数列{a_n}满足a₂+a₄=4，a₃+a₅=10，则它的前10项的和S₁₀=（　　）

A．138 B．135 C．95 D．23

6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）

A．e^2x﹣2 B．e^2x C．e^2x⁺¹ D．e^2x⁺²

7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（　　）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

10．（5分）若直线=1与圆x²+y²=1有公共点，则（　　）

A．a²+b²≤1 B．a²+b²≥1 C． D．

11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）

A．96 B．84 C．60 D．48

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　　．

14．（5分）已知抛物线y=ax²﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　　．

15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　　．

16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于　　．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．

19．（12分）已知函数f（x）=﹣x²+ax+1﹣lnx．

（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n₊₁=f（a_n）．

（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；

（Ⅱ）证明：a_n＜a_n₊₁＜1；

（Ⅲ）设b∈（a₁，1），整数．证明：a_k₊₁＞b．

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）函数的定义域为（　　）

A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}

【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．

【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．

又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}

故选：C．

【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．

2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【专题】16：压轴题；31：数形结合．

【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．

【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，

路程随时间上升的速度越来越快，

故图象的前边部分为凹升的形状；

在汽车的匀速行驶阶段，

路程随时间上升的速度保持不变

故图象的中间部分为平升的形状；

在汽车减速行驶之后停车阶段，

路程随时间上升的速度越来越慢，

故图象的前边部分为凸升的形状；

分析四个答案中的图象，

只有A答案满足要求，

故选：A．

【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．

3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（　　）

A． B． C． D．

【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．

【解答】解：∵由，

∴，

∴．

故选：A．

【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的

4．（5分）设a∈R，且（a+i）²i为正实数，则a=（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0

【解答】解：（a+i）²i=（a²+2ai﹣1）i=﹣2a+（a²﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．

【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．

5．（5分）已知等差数列{a_n}满足a₂+a₄=4，a₃+a₅=10，则它的前10项的和S₁₀=（　　）

A．138 B．135 C．95 D．23

【专题】11：计算题．

【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a₂+a₄=4，a₃+a₅=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．

【解答】解：∵（a₃+a₅）﹣（a₂+a₄）=2d=6，

∴d=3，a₁=﹣4，

∴S₁₀=10a₁+=95．

故选：C．

【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．

6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）

A．e^2x﹣2 B．e^2x C．e^2x⁺¹ D．e^2x⁺²

【专题】11：计算题．

【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．

【解答】解：∵，∴，∴x=（e^y﹣1）²=e^2y﹣2，改写为：y=e^2x﹣2

∴答案为A．

【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．

7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．

【解答】解：∵y=，

∴y′==，

∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，

∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，

∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．

8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

【专题】11：计算题．

【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．

【解答】解：∵，

只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．

故选：A．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（　　）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）

【专题】16：压轴题．

【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，

然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，

最后结合f（x）的单调性解出答案．

【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，

而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，

又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，

当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；

当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；

当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；

当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；

所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．

故选：D．

【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．

10．（5分）若直线=1与圆x²+y²=1有公共点，则（　　）

A．a²+b²≤1 B．a²+b²≥1 C． D．

【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．

【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r

，∴，

故选：D．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．

11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

A． B． C． D．

【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．

【分析】法一：由题意可知三棱锥A₁﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB₁及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；

法二：先求出点A₁到底面的距离A₁D的长度，即知点B₁到底面的距离B₁E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB₁中求AB₁与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．

【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，

所以三棱锥A₁﹣ABC为正四面体，设棱长为2，

则△AA₁B₁是顶角为120°等腰三角形，

所以AB₁=2×2×sin60°=2，A₁D==，

所以AB₁与底面ABC所成角的正弦值为==；

（法二）由题意不妨令棱长为2，点B₁到底面的距离是B₁E，

如图，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，

故DA=，

由勾股定理得A₁D==故B₁E=，

如图作A₁S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，

BF=1，B₁F=A₁S=，AF=3，

在直角三角形B₁AF中用勾股定理得：AB₁=2，

所以AB₁与底面ABC所成角的正弦值sin∠B₁AE==．

故选：B．

【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．

A．96 B．84 C．60 D．48

【专题】16：压轴题．

【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．

【解答】解：分三类：种两种花有A₄²种种法；

种三种花有2A₄³种种法；

种四种花有A₄⁴种种法．

共有A₄²+2A₄³+A₄⁴=84．

故选：B．

【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　9　．

【专题】11：计算题；13：作图题．

【分析】首先作出可行域，再作出直线l₀：y=2x，将l₀平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．

【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l₀：y=2x，将l₀平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．

【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．

14．（5分）已知抛物线y=ax²﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2　．

【专题】11：计算题．

【分析】先根据抛物线y=ax²﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．

【解答】解：由抛物线y=ax²﹣1的焦点坐标为坐标原点得，

，则

与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）

，则以这三点围成的三角形的面积为

故答案为2

【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．

15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．

【解答】解：设AB=BC=1，，则，

∴，．

答案：．

【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．

16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于　　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．

【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，

OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，

结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，

则，=

故EM，AN所成角的余弦值故答案为：

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，

（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，

由正弦定理得

即sinAcosB=4cosAsinB，

则；

（Ⅱ）由得

tanA=4tanB＞0

当且仅当时，等号成立，

故当时，

tan（A﹣B）的最大值为．

【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．

18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．

（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．

【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

∵AB=AC，∴AF⊥BC．

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．

再根据，可得∠CED=∠FDC．

又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，

∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，

则∠CGE即为所求二面角的平面角．

作CH⊥AB，H为垂足．

∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，

故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，

∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．

∵CE=，∴CH=EH=．

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；

直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC²=CH²+AH²=3+（AC﹣1）²，∴AB=AC=2．

由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，

故△ACD为直角三角形，AD===，

故CG===，DG==，

，又，

则，

∴，

即二面角C﹣AD﹣E的大小．

【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．

19．（12分）已知函数f（x）=﹣x²+ax+1﹣lnx．

（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．

（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x²+3x+1﹣lnx

∴

解f′（x）＞0，

即：2x²﹣3x+1＜0

函数f（x）的单调递增区间是．

（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，

∵f（x）在上为减函数，

∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．

即a≤2x+恒成立．

设，则

∵x∈时，＞4，

∴g′（x）＜0，

∴g（x）在上递减，

∴g（x）＞g（）=3，

∴a≤3．

【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）

，

∴乙只用两次的概率为．

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，

∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．

【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，

∴渐近线的倾斜角范围为（0，），

∴渐近线斜率为：，∴．

∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，

∴|AB|²=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）·2|AB|，

∴，

可得：，而在直角三角形OAB中，

注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，

∴，∴2k²+3k﹣2=0，∴；

∴，∴，∴．

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．

由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x²﹣32bx+84b²=0，

∴x₁+x₂=，x₁·x₂=，

∴4=·=·，即16=﹣112b²，

∴b²=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．

22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n₊₁=f（a_n）．

（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；

（Ⅱ）证明：a_n＜a_n₊₁＜1；

（Ⅲ）设b∈（a₁，1），整数．证明：a_k₊₁＞b．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而

进行证明．

（2）由题意数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n₊₁=f（a_n），求出a_n₊₁=a_n﹣a_nlna_n，然后利用归纳法进行证明；

（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a_n₊₁=f（a_n）可得a_k₊₁=a_k﹣b﹣a_k，然后进行讨论求解．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，

∴f′（x）=﹣lnx，

当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0

故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）

（i）当n=1时，0＜a₁＜1，a₁lna₁＜0，

a₂=f（a₁）=a₁﹣a₁lna₁＞a₁，

∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，

∴f（x）在区间（0，1]是增函数，

a₂=f（a₁）=a₁﹣a₁lna₁＜1，即a₁＜a₂＜1成立，

（ⅱ）假设当x=k（k∈N⁺）时，a_k＜a_k₊₁＜1成立，

即0＜a₁≤a_k＜a_k₊₁＜1，

那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a₁≤a_k＜a_k₊₁＜1，

得f（a_k）＜f（a_k₊₁）＜f（1），

而a_n₊₁=f（a_n），

则a_k₊₁=f（a_k），a_k₊₂=f（a_k₊₁），a_k₊₁＜a_k₊₂＜1，

也就是说当n=k+1时，a_n＜a_n₊₁＜1也成立，

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a_n＜a_n₊₁＜1恒成立．

（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a_n₊₁=f（a_n）可得

a_k₊₁=a_k﹣a_klna_k=，

1）若存在某i≤k，满足a_i≤b，则由（Ⅱ）知：a_k₊₁﹣b＞a_i﹣b≥0，

2）若对任意i≤k，都有a_i＞b，则a_k₊₁=a_k﹣a_klna_k==≥a₁﹣b₁﹣ka₁lnb=0，

即a_k₊₁＞b成立．

【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．

2008高考数学

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