数学祖师爷——欧拉出现后，世界数学就井喷了！
莱昂哈德·欧拉被普遍认为是地球上最伟大的数学家之一（甚至没有之一），这是有道理的。以他的名字命名的定理、方程、数字等的列表是无与伦比的，数不胜数的。有许多数学知识是以他的名字命名的，如果我要引用欧拉公式，我就必须指明是哪一个。现在让我们来考虑他的一个特殊等，即：
欧拉恒等式很可能是由一位更早的数学家罗杰·科茨发现的，他在欧拉还是个孩子的时候就去世了（不可信）。但仍然有大量的数学成果可以贡献给这个世界。
经验丰富的数学家和初出茅庐的微积分学生都呆呆地看着欧拉恒等式。它被描述为“数学中最美丽的方程”，这是有原因的。它涉及数学的5个最基本的常数：
π— pi
e —欧拉数（也叫自然常数）
i—虚数单位（-1的平方根）
1一（不用解释）
0 —（不用解释）
虽然这个等式确实很美，但它只是欧拉众多公式中的一个。
欧拉公式
对我来说，这比欧拉恒等式更美。它把复指数和三角函数联系起来。因此，这个方程可以作为与复数相关主题之间的桥梁，这些主题包括：复数对数、极坐标形式的复数、虚角等等。我将在另一篇文章中更详细地介绍欧拉公式的应用。
但欧拉是如何得出如此宏伟（我想用恐怖这个词）的公式的呢？一个数的虚数次幂是什么意思？我们真的可以说这两个表达式相等吗？
在这篇文章中，我假设你知道下面三个知识：
虚数i是-1的平方根
微分的基本概念，即你知道导数是什么就可以了。
阶乘，例如5的阶乘写成5！或者5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
在我们最终把它们放在一起并证明欧拉公式之前，有几个引理需要解释。如果你已经知道某个引理，那么你可以跳过它。
引理1：i的幂是循环的
我们必须确定的第一个重要事实是：当你求虚设i的0、1、2、3等次幂时，一种循环模式开始出现：
如你所见，每4个为一个循环。这使得计算任意整数的i次幂变得简单。
要计算i^n，只需要用n除以4，然后看看余数就可以了，如果余数是：
0(或者没有余数)那么i^n=1
1，那么i^n=i
2，那么i^n=-1
3，那么i^n=-i
换句话说：
其中(n mod 4)表示n除以4后的余数。记住,这仅仅是当n是一个整数，而不是分数或无理数。
如果不明白为什么我要这么做，那么只要记住：
任何数的0次方都是1，
任何数的1次方都是它本身，
i^2= 1。
一旦你知了这三个知识，高次幂就是i的重复乘法。
引理2：sin和cos的导数
证明欧拉公式的第二部分是知道正弦函数和余弦函数的导数：
正弦和余弦的导数是周期性的[引理2]
-f(x)的导数等于f(x)的导数的负数
如果我们知道了sinx和cosx的导数我们很快就会发现- sinx和- cosx的导数是一样的，只是乘以了-1。
注意导数的形式和i的幂的形式很相似。每4阶导数，函数循环一次。求sinx的n阶导数，只需计算n mod 4。如果它是0，它的导数是sinx, 如果是1，它的导数是cosx，2表示- sinx,，3表示- cosx， cos的导数的计算方法是一样的。
另一件需要注意的事是我们可以对sinx和cosx任意求导。具有这种性质的函数称为无限可微函数。
引理3：指数函数的导数
我们必须记住的另一个有趣的导数是指数函数的导数。指数函数是eˣ，e是欧拉数。这个函数的特殊之处在于它是唯一的函数，满足导数是它自己
指数函数作为它自己的导数有各种各样的结果使得这个函数很值得研究，但是我们现在主要感兴趣的是这个函数，就像sin和cos一样，是无限可微的。
引理4：泰勒和麦克劳林级数
这个引理可能是所有引理中最有趣的，它使我们能够在后面将指数函数和两个三角函数联系起来。
1712年，英国数学家布鲁克·泰勒想出了一个巧妙的方法来估计任何可微函数的多项式形式：
一个n次泰勒多项式
这可能看起来很复杂，但让我们把它分解一下。
f(x)是我们要近似的函数，
n是多项式的次数。
a是我们的近似值的中心。在这个公式中，我们对每一项求f(x)在a处的导数。
f上标表示我们讨论的导数。f '是一阶导，f''是2阶导数……
n越大，估值就越精确。但是要记住，并不是所有的函数都是无限可微的(有些函数的微分次数是有限制的)，所以有些函数只能近似为最大值n。
在上面的例子中，我们以0为中心(a=0)， n=15来逼近sin x函数。这是15次泰勒多项式。
注意，我们加的项越多(即n的值越大)，近似值就越像a附近的实际函数。因此，有人可能会想“如果我们让n=∞呢？”“那个无限多项式，或者说级数，不就等于函数而不是近似函数了吗?”1715年，詹姆斯·格雷戈里就是这么想的并给出了证明。
在展示泰勒级数的表达式之前，我想再说明一点。还记得我们有一个中心点a，如果我们让n趋于无穷，中心点是什么并不重要。因此，我们可以设置a=0使表达式更简单。如果我们令a=0，则得到的泰勒级数称为麦克劳林级数：
函数f(x)的麦克劳林级数[引理4]
这比原来的泰勒多项式函数简单多了也更强大了。我们现在可以把任何无限可微函数转化成无限多项式展开。这是意义深远的，但我们会更进一步，用它来推导欧拉公式。
引理5：指数函数的麦克劳林级数
让我们把我们新发现的关于麦克劳林级数的知识应用到指数函数上，我们已经知道它是无限可微的：
第一步是麦克劳林级数的定义。第二步令e^x= f (x），因为e^x是自己的n阶导数(引理3)，通过简化e^0(= 1)得到：
指数函数的幂级数[引理5]
上面的方程就是所谓的幂级数。无穷级数的项等于某个函数。
引理6：正弦和余弦的麦克劳林级数
现在让我们对sin和cos做同样的事情，从sin开始：
第一步是，麦克劳林级数的定义。第二步建立了sin(引理2)的导数，记住它们是循环的，我们可以替换第一行中的函数f(x)到第三行。最后，通过化简sin0(等于0)和cos0(等于1)得到：
正弦函数的幂级数[引理6a]
通过化简sin0和cos0，我们得到：
余弦函数的幂级数[引理6b]
欧拉公式：把它们放在一起！
现在我们已经推导出了正弦、余弦和指数函数的幂级数，我们可以看到它们是如何组合在一起的。还记得i的幂吗？我们把它插到e^x的幂级数：
注意我们刚刚做的。我们采用指数函数的幂级数来取虚数和实数。所以我们找到了一种定义虚数幂取幂的方法，至少以e为底是这样的，但我们还没做完。
正如你所看到的，我们上面的新指数函数是一个复函数，即它有实部和虚部。让我们试着把这些部分分开，让它更清楚：
在第一行中，我只是简单地展开了新的复指数函数，以显示更多的项(…表示它是无限的)。在第二行，我把函数分成实部和虚部。在第三行，把虚数部分提出来让它看起来更简洁。
这个函数的实部和虚部看起来不是很熟悉吗？因为:
你看看那个！函数的实部和cosx的无穷级数是一样的，虚部和sinx的无穷级数是一样的，就是这样：
对于本文讨论的所有无限级数，我们省略号表示它们永远遵循该模式。但是，这有点麻烦，特别是对于数学家而言。当然，这些模式看似模棱两可，但请考虑以下数字：
下一个数字是什么？答案并不唯一！你可能已经猜到，有一种更正式的方法来处理这些省略号：求和符号。
求和符号不仅更严谨，它还允许我们用一种更易于管理的方式来表示这些无穷级数的和。