揭开纯数学和物理学之间的联系，高维空间的类比解决数论难题

数学中充满了奇怪的数字系统，大多数人从未听说过，甚至难以概念化。但是有理数我们很熟悉。它们是计数数字和分数（所有你从小学就知道的数字）。但在数学中，最简单的东西往往是最难理解的。

牛津大学的数学家金敏贤（Minhyong Kim）对找出哪些有理数能解特定类型的方程特别感兴趣。千百年来，这个问题一直困扰着数论学家。他们在解决这个问题上取得的进展微乎其微。当一个问题被研究了那么长时间却没有得到解决时，我们可以得出这样的结论：唯一的解决办法就是某人想出一个全新的想法。这正是金所做的。

在过去的十年里，金描述了一种非常新的方法，在看似没有模式的有理数世界中寻找模式。这不是基于纯粹的数字世界，而是借用了物理学的概念。

• 金在牛津大学的白板上画了一个叫做“三孔环面”的数学物体。

古代的挑战

方程式的有理数解对人的思想有很强的吸引力。它们是数学中许多最著名的猜想的主题。

有理数包括整数和任何可以用两个整数的比表示的数，如1、-4和99/100。数学家们对解所谓的“丢番图方程”的有理数特别感兴趣（著名的丢番图方程，最有趣的“世界难题”，从古研究至今 ），如x^2 + y^2 = 1。这些方程式以丢番图命名，他于公元三世纪在亚历山大研究过这些方程式。

以任何一种全面的方式都很难找到有理数解，因为它们不遵循任何几何模式。考虑一下方程x^2 + y^2 = 1。这个方程的实数解形成一个圆。去掉这个圆上所有不能用分数表示的点，剩下的就是所有的有理数解。有理数解似乎随机地散布在圆周上，毫无规律可言。

• 画出所有满足方程x^2+y^2=1的数，会得到一个圆。有理数解和无理数解都分布在这个圆上。

通常很容易找到一个或多个有理数解。但是数学家们更感兴趣的是找出所有的有理数解。这是非常困难的，以至于证明哪怕是最简单的关于有理解数量的陈述都足以让你成为数学上的杰出人物。1986年，格尔德·福尔廷斯（Gerd Faltings ）获得了菲尔兹奖，这是数学的最高荣誉，主要是因为他解决了一个叫做莫德尔猜想（Mordell conjecture ）的问题，并证明了某些丢番图方程只有有限多个有理数解。

福尔廷斯的证明在数论中具有里程碑的意义。这也是数学家们所说的“无效证明”，意思是它实际上并不计算有理数解的数量。有理数点看起来就像方程图上的随机点。数学家们希望，如果他们改变思考这个问题的角度，这些点将开始看起来更像一个“星座”，他们可以用某种精确的方式来描述。问题是，已知的数学领域并没有提供这样的工具。

目前，关于这个新想法可能是什么，主要有两种建议。其中一个来自日本数学家望月信一（Shinichi Mochizuki）。2012年，他在京都大学的教师网页上发布了数百页详尽、新颖的数学论文。另一个新想法来自金敏贤，他试图在一个扩展的数字环境中思考有理数，在这个环境中，它们之间隐藏的模式开始显现出来。

对称的解

数学家们常说，一个物体越对称，研究起来就越容易。考虑到这一点，他们希望把丢番图方程的研究置于一个更对称的环境中。如果他们能做到这一点，就能利用新的相关对称性来追踪他们正在寻找的有理数点。

为了了解对称性如何帮助数学家解决问题，画一个圆。也许你的目标是找出圆上所有的点。对称性很有用，因为它创建了一个“地图”，让你从你知道的点导航到你尚未发现的点。

假设你已经找到了南半圆上所有的有理数点，由于圆具有反射对称性，所以你也得到了北半圆的所有有理数点。事实上，即使只知道一个点的位置，再结合圆的对称性知识，你就可以找到圆上所有的点（只需将圆的无限旋转对称性应用到原点上）。

然而，如果你正在研究的几何物体是高度不规则的，你将不得不努力去识别每个单独的点（不存在对称关系，使你可以将已知的点映射到未知的点）。

一组数字也可以具有对称性，一组数字越具有对称性，就越容易理解（可以应用对称性关系来发现未知值）。具有特定对称关系的数字构成一个“群”，数学家可以利用群的属性来理解它所包含的所有数字。

一个方程的有理数解集不具有任何对称性，也不能形成一个群，这就给数学家留下了一个不可能的任务：试图一次发现一个解。

从20世纪40年代开始，数学家们开始探索将丢番图方程置于更对称的环境中的方法。数学家克劳德·夏伯蒂（Claude Chabauty）发现，在他构建的一个更大的几何空间中，有理数形成了自己的对称子空间。然后他把这个子空间和丢番图结合起来。两者相交的点显示出方程的有理数解。

20世纪80年代，数学家罗伯特·科尔曼（Robert Coleman）改进了夏伯蒂的方法。在那之后的几十年里，科尔曼-夏伯蒂方法是数学家们找到丢番图方程有理数解的最佳工具。不过，只有当方程的图形与较大空间的大小成特定比例时，它才有效。当比例偏离时，就很难找到方程曲线与有理数相交的确切点。

如果在一个环境空间里有一条曲线，而有理数点太多，那么这些有理点就会聚集在一起，很难区分哪些点在曲线上。

为了扩展夏伯蒂的工作，金想找到一个更大的空间来思考丢番图方程——一个有理数点更分散的空间，让他可以研究更多种类的丢番图方程的交点。

空间中的空间

如果你正在寻找一种更大的空间类型，以及思考如何利用对称性来“导航”的线索，物理学是个不错的选择。

一般来说，在数学意义上，“空间”是任何具有几何或拓扑结构的点集。一千个点随意分布并不会形成一个空间（因为没有任何结构将它们联系在一起）。但是一个球体，它是一个特别连贯的点的排列，它是一个空间。环面也是如此，或者二维平面，或者我们生活的四维时空。

除了这些空间，还有更多奇异的空间，你可以把它们看作“空间中的空间”。举一个非常简单的例子，想象你有一个三角形（那是一个空间）。现在想象所有可能的三角形的空间。这个大空间中的每个点都代表一个特定的三角形，其坐标由它所代表的三角形的角度给出。

这种观点在物理学中很有用。在广义相对论的框架中，空间和时间是不断演化的，物理学家认为每个时空构型都是所有时空构型空间中的一个点。空间中的空间也出现在一个叫做规范理论（ gauge theory）的物理学领域，规范理论与物理空间中的场有关。这些场描述了当你在空间中移动时，像电磁力和重力这样的力是如何变化的。你可以想象这些场在空间中每一点上都有一个稍微不同的构型，所有这些不同的构型一起形成了高维的“所有场空间”中的点。

这个物理场的空间与金在数论中提出“数字扩展空间”的非常相似。要理解其中的原因，请以一束光为例。物理学家想象光在高维场空间中运动。在这个空间中，光线会遵循的路径遵循“最小作用原理”（也就是说，从A到B所需要的时间最少的路径）。

这些在物理中出现的更大的空间具有在它们所代表的任何空间中都不存在的额外对称性。这些对称性将注意力吸引到特定的点上，例如，强调时间最小化路径。在另一种情况下以另一种方式构造，这些相同类型的对称可能会强调其他类型的点——比如对应于方程的有理解的点。这一原理解释了为什么光从一种材料移动到另一种材料时会发生弯曲（弯曲的路径可以使所花费的时间最小）。

将对称与物理联系起来

数论没有粒子可追踪，但它确实有时空之类的东西，而且它还提供了一种绘制路径并构建所有可能路径的空间的方法。从这个基本对应的对应关系，金正在设计一个方案，其中寻找光的轨迹的问题和寻找丢番图方程的有理数解是同一个问题的两个方面。

丢番图方程的解形成空间（这些是由方程定义的曲线）。这些曲线可以是一维的，比如圆，也可以是高维的。例如，如果你绘制丢番图方程x^4 + y^4 = 1的（复）解，会得到一个三孔环面。这个环面上的有理数点缺乏几何结构（这就是为什么它们很难找到），但它们可以与具有结构的高维空间中的点相对应。

• 三孔环面，连接基点和有理数点的路径。

金通过思考在环面上画环的方法，创造了这种高维空间中的空间。绘制路径的程序如下。首先，选择一个基点，然后从那个点到任何其他点画一个循环，然后再回来。重复这个过程，画出连接基点和环面上其他点的路径。这些循环从基点开始并结束。这个循环的集合在数学中是一个重要的中心对象——它被称为空间的基本群。

可以用环面上的任何一点作为基点。每个点都有一条独特的路径从那里延伸出来。这些路径集合中的每一个都可以表示为高维“所有路径集合空间”中的一个点（就像所有可能三角形的空间）。这个空间中的空间在几何上与物理学家在规范理论中构建的“空间中的空间”非常相似（当在环面上从一点移动到另一点时，路径集合的变化方式与在真实空间中从一点移动到另一点时场的变化方式非常相似）。这个空间中的空间具有额外的对称性，而这对称性在环面本身上是不存在的。虽然环面上的有理数点之间不对称，但如果进入所有路径集合的空间，你会发现与有理数点相关的点之间是对称的。你获得了以前不可见的对称性。

在这些路径中存在一种'隐藏的算术对称性’，这与规范理论的内部对称性非常相似。

就像夏伯蒂所做的那样，金姆通过思考他所构建的这个更大空间的交点，找到了有理数解。他利用这个空间的对称性来缩小交点。他的希望是开发出一种能精确探测这些点的方程。

在物理环境中，你可以想象一束光可能走的所有路径。这就是你的“全路径空间”。空间中让物理学家感兴趣的点是与时间最小化路径对应的点。这些点对应于由有理数点产生的错综复杂的路径，具有同样的性质。也就是说，当你开始思考丢番图方程的几何形式时，这些点会使出现的某些性质最小化。

一个不确定的未来

今天，物理学的语言仍然几乎完全在数论的实践之外。这几乎肯定会改变。40年前，物理学与几何学和拓扑学之间几乎没有什么联系。然后，在20世纪80年代，一些数学家和物理学家（都是现在的伟人），找到了利用物理学来研究形状属性的确切方法。

如果不了解物理，几乎不可能对几何和拓扑感兴趣。我有理由相信，在未来几十年内，数论也将实现这一目标。这种联系是如此自然。