2020-2021哈维穆德学院数学竞赛 团体赛 -中文翻译

团体赛

由于疫情,这次比赛推迟到2021年1月23日举行.证明赛见链接: 2020哈维穆德学院数学竞赛 证明赛

1.在坐标平面上, 以为圆心作单位圆. 随后, 作一个过的正六边形,内接于这个单位圆. 在单位圆内部随机取两个点, 过这两个点分别作两条与轴垂直的直线, 这两条直线将这个正六边形分割为至多3个部分. 已知其中每个部分恰有正六边形的原6个顶点中的两个点的概率可以表示为

,其中为正整数, 且互素,不含平方因子.则 ________.

2.已知为正整数,对,恰有一个形式的整数为素数.则正整数的最小值为________.

3.对任意非负整数 , 设 表示的各位数字之和. 设表示所有不超过,且满足的非负整数的个数. 则被除的余数为________.

4.在区间上随机选取一个实数. 已知哈维,穆德,薛原三个人站在一个边长为50米的正三角形的三个顶点上. 在的时刻,三个人同时沿顺时针方向开始匀速移动,移动速度分别为米/秒. 设 表示满足以下条件的所有正实数所组成的集合:
若我们从区间上随机选择一个点 ,则 时刻,哈维,穆德,薛原三人正好在同一条边上的概率恰为.
设 的概率可以表示为 ,其中 为互素的正整数. 则 ________.

5.灭霸在某个星球上建立了5个殖民地, 他随机选择了其中一个入驻, 并随机地修筑了若干条道路,使得每个殖民地都通过恰好一条道路与某个殖民地相连.随后, 复仇者们随机的进入其中一个殖民地,并搜查这个殖民地,以及从这个殖民地出发,可以通过道路到达的所有殖民地.设复仇者们可以找到灭霸的概率为, 其中为互素的正整数. 则 ________.

6.已知

其中 为互素的正整数. 则 ________.

7.对任意正整数, 设 表示不超过且与之互素的所有正整数的和.设表示所有 的和,其中为所有大于,且不含除了之外的素因数的正整数. 设,其中 为互素的正整数. 则 ________.

8.已知15位女士和30位男士参加了一次聚会. 在聚会开始时, 每位女士随机与某位男士握手. 聚会结束时, 每位局是再次随机与某位男士握手. 对任意一位女士, 她两次握手的对象可以相同,也可以不同, 但每位女士在同一时刻握手的对象必须不同.已知表示可以将这位嘉宾安排成一个圆圈, 且每位女士两侧相邻的均为与之握过手的男士的概率,其中为互素的正整数.则被除的余数为________.

9.外心为,外接圆为. 设 为在上的对径点, 为到的垂足.设,分别为关于的对称点.过作垂线与 交于点, 过作垂线与 交于点.以为圆心,   , 为半径,分别作圆 , .设圆 and 再次交于点. 若 , 设 可以表示为 ,其中 , 为正整数, 为不含平方因子的正整数.则 ________.

10.已知为一个次单位根,且不为实数.  为不超过次的,各项系数均为的多项式所组成的集合. 设表示满足 ,且

的多项式的个数.

已知的素因数分解式为 ,其中  为互异的素数,为正整数.
则 ________.