数学是科学之母。科学思想、科学理论、技术测量、工程技术等等，都离不开数学。如果没有数学认知，那将止步于语文思辨，陷入初级认知和主观思想的自我漩涡而止步不前。这里串讲一下数学流派，尤其是十大学派和三大学派。介绍二十世纪中前期的近代数学流派之前，我想先提一下数学的“学派”。数学学派比数学流派要多的多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方，做出一系列的研究，并坚持一定的学派风格。在《基础教育百科全书·数学卷》提到的数学学派有：伊奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、诡辩学派、智人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德学派、亚历山大里亚学派、哥廷根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利代数几何学派、法国函数论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑学派、剑桥分析学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。可以看到，中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西。数学本身源于自然哲学。当数学科学逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。关于每个学派，都有一段很长的故事，其中的每个数学家都有很多激动人心的作品，和带有传奇色彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》和E.T贝尔的《数学精英》，我们可以了解到很多数学家的故事。直至近代，通过参阅《当代数学精英－菲尔茨奖获得者传》，和《当代数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书，可以对20世纪以来的数学有大概的了解。莫斯科学派和哥廷根学派都曾经云集过一大批著名的数学家，有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。关于哥廷根学派：哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展。高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体。【1】
【1】『注』这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)；弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)；冯·诺依曼(1903～1957，杰出数学家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)；哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)；诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)；费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)；费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)；外尔(1885～1955，杰出的数学家之一)；德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)；此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
关于莫斯科学派：百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金，亚历山德罗夫，柯尔莫戈罗夫，盖尔范德，沙法列维奇，阿洛尔德，诺维可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥尔茨，科瓦列夫斯卡娅等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有哪个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出，把高深的数学理论用简单的数学语言写出来，并举出很多生活中的实例，与数学理论相联系。他是个对数学理解非常深刻的数学家。看他的作品非常的享受，如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力学的数学方法》。关于中国数学学派：很遗憾的是中国还未尝有过什么著名的数学学派，更不谈流派了。中国的数学发展，需要更多人投入和奋斗。没有数学理论，科学、技术、专业都无法形成高级认知、理论表达。下面要谈到的数学十三大流派中，涉及了很多当时世界上一流的数学家，逻辑学家，哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献，在这里我们向他们致以崇高的敬意。德国19世纪20年代到20世纪20年代，由高斯创始，黎曼、克莱因、希尔伯特等人发展致盛，在世界数学史中长期占主导地位的学派。哥廷根学派强调数学的统一性，重视纯粹数学和应用数学，将数学理论与近代工程技术紧密结合。哥廷根学派“兵多将广”且代代相接，学科齐全且长期保持着高度创造力。然而到20世纪30年代，纳粹执政后的疯狂民族主义导致该学派日渐衰退。高斯早年就学于哥廷根，并在哥廷根担任天文台台长和天文学教授，其《算术研究》和《曲面的一般研究》分别成为数论和微分几何的奠基著作。黎曼也曾就读哥廷根大学，1851年获博士学位，后留校任教授。黎曼是复变函数论的创始人之一，以他名字命名的黎曼积分、黎曼曲面、黎曼几何分别推动了积分理论、拓扑学和几何学的发展。克莱因1886年受聘于哥廷根大学，为学派的组织健全、人员汇集和理论发展做了大量工作。例如组织了许多讨论班，造成相互合作、民主自由的学术气氛；在《新的几何研究成果的比较分析》中提出的“埃尔朗根纲领”，成为数学统一性的代表作，影响了学派的后继工作。希尔伯特1895年应召到哥廷根后，在代数数论、几何基础、分析学、理论物理和数学基础等方面做出巨大贡献。希尔伯特注重数学与物理等学科的联系，他新的统一观点促进了20世纪数学的进展。诺特1916年到哥廷根后，创立了抽象代数学。并主持有关讨论班，培养了大量近现代数学家，进而影响到法、苏、美、英国的数学发展。哥廷根学派的没落，是受到德国对犹太裔的排斥，这让其他国家，尤其是美国人捡了大便宜：希特勒的种族主义，驱赶犹太裔数学家，葬送了帝国的数学中心。只剩下了实用技术。19世纪下半叶到20世纪初，德国柏林兴起的数学学派，其代表人物为外尔斯特拉斯、弗罗贝尼乌斯、基灵等人。柏林学派主要从事数学分析、符号代数和几何基础方面的研究。虽然柏林学派不受限于共同的研究方向，但有着一致的哲学观点，指导研究工作。1856年，外尔斯特拉斯受聘到柏林大学执教，在数学分析的严密化方面做出了重要贡献，给出连续、一致收敛等基本概念及其应用；在椭圆函数、行列式、线性代数、变分法等领域也取得丰富成果，成为该学派的带头人。1867年，弗罗贝尼乌斯和基灵进入柏林大学学习，在外尔斯特拉斯指导下获博士学位。弗罗贝尼乌斯继承了外尔斯特拉斯有关初等因子的理论，独立引入符号矩阵代数，创造了型的符号代数。基灵则对外尔斯特拉斯有关几何基础方面，做出了独特的研究，创立了李代数的结构理论和环与代数的结构理论。19世纪下半叶到20世纪初，在俄国圣彼得堡城兴起的学派，其代表人物为切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人。彼得堡学派的主要特征是数学理论与实际应用紧密地结合，并在应用数学中做出了较大贡献。切比雪夫作为学派的创始人，一生在数论、概率论、函数逼进论、机械原理和积分学等领域共发表70余篇论文；自1847年起一直在圣彼得堡大学任教，培养出大批优秀学生并逐渐形成了学派。马尔可夫早年在圣彼得堡大学受教于切比雪夫，后留校任教授。他的《差分学》和《概率论》已成为经典著作，其中马尔可夫过程也已发展成概率论的一个新分支。同样作为切比雪夫学生的李亚普诺夫，在概率论中给出了中心极限定理的简洁证明，并对运动稳定性理论提出许多新的解决方法。彼得堡学派是俄国(苏联)最早的数学学派，对苏联近代数学的发展产生过巨大影响。20世纪中，圣彼得堡(列宁格勒)又出现了坎托罗维奇等现代数学家，他们在继承和发展彼得堡学派的理论及传统方面做出了的贡献。19世纪60年代兴起于意大利，由布廖斯基、贝蒂和克雷莫纳“掌门”。该学派的工作在性质上属于古典代数几何，有着自己的风格和研究主题，代表了代数几何发展中的几何倾向，对意大利数学的全面发展有深远影响。19世纪50年代开始，意大利数学家与欧洲数学有了广泛交流，使意大利摆脱了闭塞落后的局面。1863年，波伦亚大学的数学教授克雷莫纳给出平面曲线一般变换理论的阐述，此后又发展了被称为克雷莫纳变换：任意维射影空间的射影平面与有理平面的双有理变换理论。他的一系列工作成为意大利代数几何研究的起点，并激发了许多数学家的研究。19世纪90年代后，意大利第二代代数几何学家成长起来，其中塞格雷于1894年扩展应用了曲线族中曲线在一条曲线上截得点的线性系的思想，启示后人发现许多新的双有理不变性质。19世纪末卡斯泰尔诺沃与恩里克斯开始合作，以线性系为中心概念进行研究。利用克雷莫纳变换奠定了代数曲面中曲线的线性系理论，并对曲面分类理论进行了深刻的研究。塞维里师从塞格雷，完善了代数曲面双有理不变量理论，并推广到任意维代数族上。他还建立了代数几何中的基础理论，为代数曲面上零维团链理论打下了基础。19世纪末兴起于法国巴黎高等师范学校，以阿达马、波莱尔、贝尔、勒贝格等人为代表。法国数学在18世纪末到19世纪30年代，在分析、几何和数学物理方面取得巨大成就。19世纪末法国数学重新崛起，阿达马在函数论领域做了开创性工作，成为学派的精神领袖，并在20世纪初开办讨论班，培养了一批优秀数学家。波莱尔1897年任巴黎高等帅范学校讲师，其《函数论教程》阐述了测度理论，并给出覆盖定理的一个新证明。他编辑的“函数论著作丛书”先后出版约50本，其中包含了将集合论用于实变函数论和复变函数论的新思想。1899年贝尔研究了连续函数的极限函数的特殊问题，并发展了半连续概念，此后集中研究非连续函数，成为实变函数论的开拓者之一。1897年勒贝格毕业于巴黎高等师范学校，两年后开始发表有关函数分类的文章，1902年在博士论文《积分、长度与面积》中详细阐述了勒贝格积分概念，成为现代积分论的开端。后又在《积分与原函数的探索》中证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，完全解决了黎曼可积性问题，为实变函数论打下坚实的基础。在20世纪初，法国函数论学派吸引了世界各地的学生，推动了世界函数论的发展。第一次世界大战使法国科学研究遭受重创，函数论学派的没落。法国数学在战后逐渐转向应用领域和公理化方法。美国数学在19世纪后期才逐渐与欧洲数学接轨，而普林斯顿学派于20世纪初兴起于美国普林斯顿，并一直延续到20世纪50年代，以范因、维布伦、外尔、莫尔斯等人为代表。普林斯顿学派既在微分几何与拓扑学的传统优势中引进新的工具，又开拓数学物理等新领域。以优势学科带动其他学科全面发展，以数学理论研究推动科学应用，并广泛开展国际交流与合作，是现代数学的发展的一种非常成功的模式。普林斯顿作为世界新的数学中心，得益于德国对犹太裔的排斥，更多详情可参考：6个研究员，1个世界级数学中心，长盛不衰的普林斯顿。20世纪初的苏联在莫斯科创立的学派，又细分为两个侧重不同的学派：由叶戈洛夫和卢津创始，柯尔莫哥洛夫等人发扬光大的函数论学派；以亚历山德罗夫、乌雷松、庞特里亚金等人为代表拓扑学派。莫斯科学派直接代表了苏联近现代数学发展的水平。卢津是叶戈洛夫的学生，曾到法国和德国学习，后在莫斯科大学讲座实变函数论，并写有实变函数论教科书。他曾证明可测函数的构造等定理。柯尔莫哥洛夫在数论方面做了大量工作，并应用实变函数论和测度论将概率论建立在严格的数学基础上。亚历山德罗夫和乌雷松也都是卢津的学生，早年从事函数论研究，后转向拓扑学，成为20世纪该学科的先驱。乌雷松开创了维数理论的研究，为发展一般拓扑学做出了杰出贡献。庞特里亚金参加了亚历山德罗夫组织的拓扑学讨论班，他写了几本重要的拓扑学专著，且在应用数学领域取得较大成就。莫斯科学派将函数论作为工具，在拓扑学、微分方程、概率论等几个方面都获得长足发展，其中有较著名数学成果的还有索伯列夫的现代微分方程理论、辛钦的概率研究、盖尔范德的泛函分析与代数成就等。近年来莫斯科数学界仍然新人辈出，在他们中诺维科夫和马尔库利斯分别荣获1970年和1978年度菲尔兹奖。20世纪上半叶以英国剑桥大学为中心兴起，以哈代和李特尔伍德为代表的学派。剑桥大学自牛顿时代开始一直是英国的数学中心，而数学在其教学体制中又占有重要地位。1837年，剑桥数学杂志创刊，供年轻数学家发表研究成果。19世纪下半叶，凯莱、福赛思、霍布森等人的工作成为剑桥分析研究的先驱，哈代1900年毕业于剑桥大学三一学院，后留校执教，他的《纯粹数学教程》是一本严格的初等分析教程，产生了较大影响。1910年，李特尔伍德成为哈代的同事，1912年开始与哈代联名发表论文，35年中在丢番图逼近、数的加性和积性理论、黎曼函数、不等式、积分、三角级数等分析领域合作论文近100篇。1913年，哈代发现了印度天才数学家拉马努金，并与拉马努金在素数分布、加性数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等方面也有成功的合作。在此期间，哈代和李特尔伍德的教学激发了许多学生对分析学的兴趣。到20世纪30年代，两人共同主持的联合讨论班培养了遍及世界各地的学生，也为访回剑桥的数学家提供了学习良机，比如著名的数学家杨、托德、华罗庚、乌拉姆等人。剑桥分析学派将严密化的分析及积分方程、测度等工具用于数论、函数论研究，发展起圆法等重要的分析方法，并解决了一大批数学问题。这种将纯粹数学与应用数学互相补允、共同发展的风格扩大到分析学的研究领域，促进了数学各分支的协调发展。波兰学派兴起于两次世界大战间，依据地点一般又细分为华沙学派和利沃夫学派。华沙学派以1920年创刊的《数学基础》杂志为形成标志；利沃夫学派则以1929年创刊的《数学研究》杂志为代表。两学派的成员分别在两份杂志上发表文章，两份杂志也因此成为了国际上重要的数学杂志。谢尔品斯基、尼谢夫斯基、马祖尔克维奇是波兰学派的创始人。他们都曾在华沙大学工作，一起创办了《数学基础》，贡献领域主要在集合论和拓扑学。同时非常注意科学团体的组织建设，以学派刊物为中心，吸引和培养了一大批优秀的数学家。利沃夫学派的代表人物是巴拿赫、施坦豪斯、库拉托夫斯基、乌拉姆等人，他们先后学习或执教于利沃夫技术大学，主要是对泛函分析学科的创立和发展做出了贡该。学派常在一个“苏格兰咖啡馆”中聚会，提出和讨论数学问题，其中不乏影响到20世纪后半叶数学发展的问题。除此之外，波兰学派的成员还遍及克拉克夫和波兹南，也促进了波兰数学会及其他科学机构的组建。由于第二次世界大战纳粹的占领，波兰学派随之衰退，幸好战后得到数度复兴。20世纪30年代出现于法国，由一群青年数学家组成，借用尼古拉·布尔巴基为集体的笔名，发表数学论文和有关数学基础问题的专著。这群青年在广泛深入地研究现代数学本质的基础上，提出用数学结构的观点对各数学分支进行统一处理，并为此撰写了鸿篇巨著《数学原理》。该书自1939年开始出版以来，已先后出版了近40卷，并陆续被译成英、日、俄等多国文字。同时，还发表500多篇综述当代数学各个领域重大成果的文章。因为第一次世界大战，战后的法国数学界，出现了青黄不接的局面：老一辈数学家对当代数学所知甚少，年轻大学生的求知欲得不到满足。于是，1934年冬，一些高等师范学校毕业的年轻数学家自发地组织起来，约定1935年7月在巴黎召开第一次布尔巴基大会，并计划编写《数学原理》。这些年轻的数学家包括韦伊、迪厄多内、嘉当、谢瓦莱、德尔萨特等人，成了布尔巴基学派的第一批主要成员。该组织每年举行数次讨论班式的聚会，探讨数学发展动向，运用公理化方法研究整个数学的基础和本质。会议没有任何程序，参加者可自由地踊跃发言。学派中的成员被要求必须具备较高的数学造诣和独立解决问题的能力，且对自己研究的课题怀有强烈的兴趣。他们治学态度严谨，对一部著作要经过反复修改，直到大家基本满意。因此一本书从动笔到正式出版平均要8一10年。为了保持组织的青春活力，学派中有个不成文的规定：凡年满50岁者必须退出。有许多学派的老一代成为了国际著名的数学家，较年轻的也有不少是优秀的数学家，如获得过国际数学家大会颁发的菲尔兹奖的施瓦尔茨、塞尔、格罗腾迪克等人。《数学原理》博大精深常，书中坚持严格的公理化原则，并使用新颖独特的名词术语，其理论体系以“分析的基本结构”为基础，内容包括集合论、代数学、一般拓扑学、实变函数论、拓扑向量空间、积分论。此外，还有李群与李代数、交换代数、谱理论、微分流形与解析流形等分册，书中强调数学是一门统一的结构性科学，具有三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构。数学中的不同分支都是其组成部分。该观点对于丰富人们对数学的认识，推动数学的发展有重要意义，同时也影响了世界各国的数学教育。20世纪初，直觉主义学派、逻辑主义学派和形式主义学派这3个学派，都是为解决数学基础争论而建立起来的。对于这三个学派，可参考阅读：现代数学三大学派：“八仙过海，各显神通”，解决数学基础问题。
二十世纪中前期的三大数学流派简介
逻辑主义、形式主义和直觉主义三大数学流派是围绕数学的哲学基础问题，进行的不同探讨而形成，主要是在1900年到1930年这三十年间。代表人物有罗素、希尔伯特、布劳威尔。
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。集合论在19世纪末由康托建立后，集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900 年，在巴黎召开的国际数学家大会上，庞加莱曾满怀信心的说：“ 现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”
罗素的集合悖论：
集合可以分为两类：第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”；第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
在某个城市中有一位理发师，他是这样说的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，这位理发师能不能给他自己刮脸？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。从1900年到1930年的30年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个学派。
在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：
1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19 世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。逻辑主义的主要代表人物是英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素，他与怀特海于1913年完成了逻辑主义的经典代表作---《数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以以一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，使全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延伸或分支。所以，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”、“数学即逻辑。”罗素在他的《数理哲学导论》一书中进一步的阐述了他的主张：“ 通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，要研究我们能否找到更为一般的思想原则，以这些思想和原则出发能使现在作为出发点的东西得以被定义和演绎出来” 。那么是什么样的思想原则？罗素接着说：“ 应当以一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。” 即把数学化归于逻辑，这是他的基本观点。在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来，获得成功。故罗素宣称：“ 从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细的做了出来。” 但是，事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点；同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。但是，尽管如此。罗素与怀特海合著的《数学原理》一书在20世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志符号逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步的显示了现代逻辑的科学意义。《数学原理》一书成为名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这在逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起了决定作用，是近代公理方法的一个重要起点。一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，并把希尔伯特的数学观和数学基础称作为“形式主义”，罗素和布劳威尔都称希尔伯特为形式主义的代表人物，但他们是指希尔伯特奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。而希尔伯特本人并不自命为形式主义者，他的学生贝尔奈斯也不认为希尔伯特是形式主义者。
希尔伯特建议两条最基本的原则：
一、形式主义原则：所有符号（如x,e,π…）完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；
二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。
形式主义理论体系是在非欧几何产生之后，在数学和数学哲学研究中弥漫的“重建数学基础”的气氛中形成的。当非欧几何得到人们的承认，亦即当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明了不自相矛盾的时候，人们便要问：数学的真理体现在那里？试想，一种几何说，过直线外一点只能作一条直线不与原有的直线相交；另一种几何说，过直线外一点至少可作两条直线不与原有的直线相交；还有一种几何说：过直线外一点不可以做任何直线于原有的直线不相交。这三种几何不是互相打架了吗？理应至少有两个是错误的，为什么三个几何都成立呢？德国著名数学家希尔伯特主张，保卫经典数学和经典的数学方法，并且发展他们。他认为，经典数学，包括由于集合论的出现而发展起来的新的数学方向，都是人类最有价值的精神财富；为了在数学中避免出现悖论，就设法绝对的证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上，数学的公理和逻辑推理就像天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。为了实现这一目的，希尔伯特在1922 年提出了著名的希尔伯特计划。希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。希尔伯特计划，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。他区分了3种数学理论：1.直观的非形式化的数学理论；2.将第一种数学理论形式化，构成一个形式系统，把直观数学理论中的基本概念转换为形式系统中的初始符号，命题转换为符号公式，推演规则转换为符号公式之间的变形关系，证明转换为符号公式的有穷序列；3.是描述和研究第二种数学理论的，称为元数学、证明论或元理论。元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义，也包括对形式系统性质的研究。形式主义的提出是数学发展史上最重要的转折点，它标志着元数学的建立。从此，数学的发展进入研究形式系统的新阶段。这里我们要说明一点：形式主义和逻辑主义一样，都从公理系统出发，不同点是：逻辑主义者当追到逻辑公理系统时，不再持有原来的对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，而且想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方，形式主义者则不然，他们认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便得承认，它便代表某一方面的真理。连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作为真理所在了。希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。” 、“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。但是希尔伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前推进了一步，促进了数学的发展。元数学（证明论）已发展为数理逻辑的四大分支之一。形式主义的代表人物有美国数学家鲁滨逊和柯恩等人。他们认为：数学应该被看作一种纯粹的纸上符号游戏，对这种形式的唯一要求是不会导致矛盾。但是，这种形式主义思想显然与希尔伯特的主张是不同的。直觉主义的奠基者和代表人物是荷兰数学家布劳威尔。在数学哲学中，直觉主义，或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种；但它不是唯一的一类。直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造，还有什么其它法则可以用作真实性的检验（如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。特别的有，排中律, A 或非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否定。(参看直觉逻辑.)直觉主义也拒绝实际无穷的抽象；也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。直觉主义的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即是康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。19世纪的克罗内克强调能行性，说当时好些定理都只是符号的游戏，没有实际意义。他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。” 其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。20 世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张。其他如包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义或法国经验主义亦强调能行性的观念。他们公开否认选择公理，认为根据选择公理而作的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。他们提出能行性的概念，没有能行性的便不承认其存在。他们都是直觉主义的先驱。所有这一切，都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布劳威尔集其先驱们之大成，系统的提供了直觉主义的主张。直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔, 从1907 年布劳威尔的博士论文《数学的基础》开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。实无穷论者认为“ 自然数全体” 就是指自然数集{0，1，2，3，……} ，这是一个确实存在了的完成了的集合，可以而且应该作为数学研究的对象。潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然,0，1，2，3，……只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭实体。布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。1967年，美国数学家毕肖普完成并出版《构造性分析》一书，开始了直觉主义学派的构造主义时期。历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。而更为专业的前十大流派则代表了数学专业学者的中流砥柱。希望中国数学可以真正发展起来。
