如何巧算期权价格和希腊值：波动率（上） / 开普饭

1. 导论

2. 正态分布

3. 波动率（分上下两篇，这里是上篇）

波动率是一种刻画某时期内期货收益率(损益)变动程度(离散程度)的度量指标. 我们常说, 风险越高, 波动越大(例如, 市场崩盘); 风险越低, 波动越小(例如, 夏季交易淡季). 所以, 在高波动市场状态时, 我们期望期货价格大变动; 而在低波动市场状态时, 期货价格几乎几天无变化.

3.1一年后期货价格的概率分布

在期权交易中, 波动率以年化形式给出, 那么, 计算日收益率的话，可依据对全年收益率预期折算出日收益率. 年化波动率可预测一年后期货价格的概率分布(通常为256个交易日).

根据高斯分布可测算未来价格所处区间的概率.在低波动率时(如图3.1所示的10%), 假设初始期货价格为$50, 人们预期一年后的价格落在$40和$60之间(这里选用95%置信水平,即包含了95%的可能性, 价格区间采用2倍标准差原则[可简写为2σ原则，因为下文σ表示标准差，其它章节表示波动率]计算). 若波动率扩大一倍至20%, 那么, 一年后的期货价格区间也应该扩大一倍,即落在$30和$70之间. 若波动率再扩大1倍至40%, 则一年后的期货价格区间(几乎)将再扩大一倍.

图3.1 波动率为10%的期货价格概率分布Monte Carlo模拟

3.2 正态分布 vs 对数正态分布

图3.1—图3.3显示了一年内期货价格的分布区间（可能的游走路径）, 可以看出, 价格区间(几乎)随着波动率倍增而倍增. 这里在括号内增加"几乎"两字是为了表述更加准确（译者注：要注意到图中价格下跌幅度与上涨幅度是不对称的，上涨幅度大而下跌空间小）. 这也是金融市场惯用对数正态分布而不是正态分布的原因. 下面举例详细解释.

图3.2 波动率为20%的期货价格概率分布Monte Carlo模拟

图3.3 波动率为40%的期货价格概率分布Monte Carlo模拟

应用对数坐标的两个简单目的:

价格不能为负数; (译者注: 2020年4月国际油价出现负价格属罕见现象, 可忽略).
价格涨幅能很多倍, 但不能跌至0以下.

某期货目前价格为$50, 价格至多能跌$50, 但更能涨到几百美元. 在对数坐标上, 一项资产从$50涨到$100 与另一项资产从$100涨到$200的涨幅百分比是无差异的, 或者用对数收益率的数学表达为ln(50/100)=ln(100/200). 同样有ln(25/50)=ln(50/100), 从涨价的角度, 可理解为资产从$25 涨到$50与从$50涨到$100是无差异的. 在不考虑变动方向的情况下, 也可以理解为价格从$50跌至$25, 价格下跌$25与上涨$50是同等百分比幅度, 这就是跌价空间受到限制的原因. 进一步讲, 价格区间[$10, $50]相当于[$50,$250], 在该情景下, 资产价格下跌$40与上涨$200是同等百分比幅度. 若去掉ln符号, 这些关系可以清楚地表示为25/50=50/100或10/50=50/250.

正是上述的比例关系扭曲了期货价格的概率分布. 假设期货价格为$50, 波动率为10%, 则95%置信水平的价格上界是$60 (即采用2σ原则, 价格上移$10(2×10%×50). 价格比值为60/50=1.2. 若按照该比值计算下界, 可得到50/1.2=

, 所以, 在10%波动率下, 价格上界高出$10, 而下界仅低$

. 至此, 当给出不同的年化波动率时, 我们能很容易得到价格波动区间(仍应用2σ原则计算上界, 结果可看表3.1).

下面用简单的函数图像来说明正态分布和对数正态分布之间的显著差异.若定义函数为样本值乘以10且样本范围是从1到100, 计算结果为1到1000. 如图3.4所示, 在普通坐标系下作图, 该函数是一个简单的直线. 如采用对数坐标,函数图像则完全不同, 我们要意识到这一点(例如, 在技术分析中会经常用到).

图3.4 普通坐标 vs 对数坐标

总之, 如果波动率倍增时, 一年后期货价格的概率区间也将(几乎)倍增. 这对期权价值有极大的影响. 当波动率倍增时(到期日和利率等不变), 平值期权的价值也会倍增. 波动率对期权价值的影响容易测算, 理解这一点也有助于期权价值评估.

3.3 年化波动率的传统计算方法

在计算年化波动率时, 要先以期货的每日收盘价数据计算日度收益率的标准差, 然后将计算出的标准差乘以年度交易日的平方根, 即可得出结果.

上述定义的年化波动率也称为历史波动率(historical volatility,简写为HV),或者已实现的波动率(realized volatility, 简写为RV), 而不是根据市场参与者对期权报价所反演出的隐含波动率(implied volatility, 简写为IV). 这两种波动率通常存在一定的差异, 有些时候还相当大. 以后我们统一将这里定义的年化波动率称为历史波动率.

为计算历史波动率, 我们首先要计算期货日收益率的方差(

). 计算公式如下:

那么，标准差为

如前所述, 历史波动率由日收益率的标准差与年度交易天数的平方根两者乘积算出, 即σ×16, 这里

. 请记住, 在这节内容中, 我们用σ表示标准差, 但在其他章节和市场上, σ 代表年化波动率, 这一点请务必区分清楚.

下面列表示例如何计算一组样本的历史波动率. 表3.2中给出15个样本点.

首先采用

计算日对数收益率, 生成第一个数值为ln(49.66/50)=-0.006765, 用百分数表示为-0.6765%, 依次计算余下的日对数收益率. 接下来计算μ, 即日对数收益率的平均值. 这里注意,

代表百分数的平方, 不是先计算数值的平方再加上百分号. 例如,

不等于4%, 而是2%的2%, 即0.04%. 在EXCEL计算时可能弄混淆. 再接下来是计算标准差, 即所有

求和除以14(即n-1)后的平方根. 最后, 由该日度数据的标准差和全年交易天数的平方根之积得出历史波动率.

然而, 若期货价格出现趋势性走势且每天上涨2%, 该公式计算出来历史波动率会是什么情况呢? 如表3.3所示, 期货的日对数收益率大约为2%且等于其平均值, 每个交易日的

项均等于0.00\, 进而标准差为0.00%,最终导致历史波动率为0.00%.

所以, 上述计算公式有点问题, 有必要改进. 因为变动的期货价格一定会有波动率.

3.4 不含平均值μ的年化波动率计算公式（修订公式）

不幸的是, 在探索历史波动率计算方法的过程中，刚刚提到的缺陷经常被发现. 若在观察期内, 期货价格有相当大的变化或呈现趋势性变化时, 则在计算历史波动率的过程中, 应该极其谨慎地对待传统计算方法. 在横盘行情下, 对历史波动性的曲解可能性较小, 因为μ将接近于零.

将标准差公式稍作调整, 即

只需删除μ, 当期货呈现趋势性行情时, 波动率就能正确地计算出来. 另外, 请注意, 用EXCEL计算标准差也存在同样的问题. 当用函数"stdev"计算对数收益率的标准差时, 会低估波动率, 特别是趋势性行情会令波动率趋近于零.

这是一个非常重要的特征,由于期货的波动率(指隐含波动率)远高于由传统方法算出的历史波动率(即使计算合理), 交易者也可能在市场上错误地出售期权. 而采用删除μ的标准差计算公式甚至能诱使交易员购买期权而不是出售期权.(译者注: 例如隐含波动率为17%, 由传统公式得出的历史波动率为15%, 而修订公式计算的波动率为19%。因为历史波动率和隐含波动率会逐步收敛,那么,从传统公式计算结果看，隐含波动率相对较高, 卖出期权看上去更划算; 但实际上低于修订公式的计算结果, 买入更划算.)

使用同一组数据计算时, 修订公式计算的波动率略高. 对比表3.4和3.2中的波动率即可看出, 两个表格中的价格数据是一样的, 包含μ时, 年化波动率为23.06%, 而删除μ后的计算结果为23.90%, 存在较小的差异.

利用修订后的方差公式和标准差公式, 趋势性行情下波动率计算更为合理, 计算结果与原公式有着极其显著的差别. 如表3.3和3.5所示, 采用同一组价格数据, 计算公式中包含μ 时, 历史波动率为0.00\%, 而不含μ的公式计算结果为32.80%. 另外, 当计算Black-Scholes模型中的希腊字母时(尤其是gamma和theta), 实际上, 32%左右的波动率是正确的.

3.5 采用16倍法则计算年化波动率

历史波动率是未来某一时间段内的标准差乘以交易日数的平方根的结果. 在大多数情况下, 一年是256个交易日，这就得到了系数16. 简单地说, 如果标准差是1%，波动率应该是16%; 如果标准差为2%，波动率为32%; 依此类推.

图3.5 16倍法则

图3.5显示了日价格收益率与年化历史波动率的关系. 图中采用日价格变化取绝对值(即价格下跌1%, 也视为1% 的正向变动), 当日百分比变动为1%时, 年化历史波动率为16%. 如果期货价格日变化较大, 可由每个交易日的平均绝对百分比乘以16计算历史波动率. 期货价格变动1%的对数收益率几乎等于1%(0.995% vs 1%), 变动2\%时亦然(1.9803% vs 2%). 该方法在估算历史波动率上功能强大. 当分析历史波动率时, 有时候只需查看每日价格变化, 就能很好地了解当时的历史波动率, 无需公式计算. 在实际业务中, 16倍法则被广泛采用.

注意事项: 例如, 当期货价格连续两天变动1%时, 标准差为1%, 与平均绝对百分比一样，16%的波动率是合理的. 但若第一天价格变动0.5%，第二天变动1.5%，则平均绝对百分比移动为1%，应用16倍法则将得出16%的波动率. 然而, 这与修订公式计算结果存在较大偏差. 利用删除μ 的公式计算出标准差为1.41%, 波动率为22.6%. 因此, 16倍法则只能在期货价格表现出稳定的日收益率时适用; 在其他情况下，该法则将低估真实的历史波动率.

3.6 交易日变动对年化波动率的影响

尽管全年交易日出现大幅变动的可能性很小，但若真出现这种情况呢？如某期货/资产一年内的交易日少于256个，该怎么办? 如前所述, 仍然是用日（对数）收益率的标准差乘以全年交易天数的平方根来计算历史波动率. 举例说明: 如果某项资产日(对数)收益率的标准差为2%, 但每年只有100个交易日, 那么年化波动率将是2%乘以10(100的平方根), 即得波动率为20%; 若仍是256个交易日, 则年化波动率为32%.

回想本章开头的图3.1—图3.2: 若一年只有100个交易日, 则时间轴应该止于100日, 显示价格波动区间要比256日窄很多. 考虑更极端的例子, 很显然, 期货在邻近交割日时的价格波动区间远小于256 个交易日后的价格波动区间. 而且, Black-Scholes模型完全支持这种逻辑.

波动率上篇到此为止，下篇待续，将简单介绍日内波动、HV和IV的一些理解.

如何巧算期权价格和希腊值：波动率（上）

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